全程设计 微专题 直线与圆锥曲线的综合问题
微专题 直线与圆锥曲线的综合问题
导航 圆锥曲线中的弦长与面积问题 【典型例题1】己知P为椭圆器+兰1a>60,上任意一 点，Fi,F为椭圆的焦点，且PFI+PF:4,离心率为受
导航 一 圆锥曲线中的弦长与面积问题 【典型例题 1】已知 P 为椭圆 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 =1(a>b>0)上任意一 点,F1,F2为椭圆的焦点,且|PF1|+|PF2|=4,离心率为 𝟐𝟐
导航 ()求椭圆的方程； (2)若直线：y=x+(0)与椭圆的两交点分别为A,B,线段 AB的中点C在直线y=式上，O为坐标原点，当三角形OAB的 面积等于v2时，求直线1的方程
导航 (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆的两交点分别为A,B,线段 AB 的中点 C 在直线 y= 𝟏 𝟐 x 上,O 为坐标原点,当三角形 OAB 的 面积等于 𝟐时,求直线 l 的方程
导航 解：()由精圆的定义，得2a4,-2因为后=受所以V2,则 62,故指圆的方程为号+兰1 y=kx +m, (2)设A(1y1),B(2y2),联立 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0.(*) 则x1+x2= 4km 2m2.4 1+2k2c1w2 1+2k2
导航 解:(1)由椭圆的定义,得 2a=4,a=2.因为𝒄 𝒂 = 𝟐 𝟐 ,所以 c= 𝟐,则 b 2 =a2 -c 2 =2,故椭圆的方程为𝒙 𝟐 𝟒 + 𝒚 𝟐 𝟐 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒎, 𝒙 𝟐 𝟒 + 𝒚 𝟐 𝟐 = 𝟏, 得(1+2k 2 )x 2 +4kmx+2m2 -4=0.(*) 则 x1+x2=- 𝟒𝒌𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 ,x1x2= 𝟐𝒎𝟐-𝟒 𝟏+𝟐𝒌 𝟐
导航 设Cco,则xc7生2= -2km 2 +2k2 yc=kxc+m= m 1+2k2 因为点C在直线之上， 所以2 1-2km 2 1+2k2 解得k=-1, 于是()变为3x2-4x+22-4=0
导航 设 C(xC,yC),则 xC= 𝒙𝟏 +𝒙𝟐 𝟐 = -𝟐𝒌𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 , yC=kxC+m= 𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 , 因为点 C 在直线 y= 𝟏 𝟐 x 上, 所以 𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 = 𝟏 𝟐 · -𝟐𝒌𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 , 解得k=-1, 于是(*)变为3x 2 -4mx+2m2 -4=0
导航 因而1B=V2-46m 3 原点0到直线1的距离为 咒即△01B的底边AB上 的高M,所以三角形0AB的面积S26m2m 3 由'Z6-m2m2 3 =V2,解得士V3, 故直线I的方程为y=x+√3或y=-x-V3
导航 因而|AB|= 𝟐|x1-x2|= 𝟒 𝟔-𝒎𝟐 𝟑 , 原点 O 到直线 l 的距离为 |𝒎| 𝟏+𝟏 = |𝒎| 𝟐 ,即△OAB 的底边 AB 上 的高 h=|𝒎| 𝟐 ,所以三角形 OAB 的面积 S= 𝟐 (𝟔-𝒎𝟐)𝒎𝟐 𝟑 . 由 𝟐 (𝟔-𝒎𝟐)𝒎𝟐 𝟑 = 𝟐,解得 m=± 𝟑, 故直线 l 的方程为 y=-x+ 𝟑或 y=-x- 𝟑
规律总结1解决圆锥曲线中的弦长问题，主要采用设而不求 的思想，通过一元二次方程根与系数的关系，借助弦长公式进 行求解，对于抛物线来说，如果是求焦点弦的长度，还可以结合 抛物线的定义有更简单的公式可用. 2.解决圆锥曲线中的面积问题，关键在于面积公式的选择，一 般有两种思路：一是利用弦长作为底，点到直线的距离作为高， 通过=？×底×高求得面积；二是将三角形进行分制，通过它 们的公共底边，利用顶点的纵坐标或横坐标的差的绝对值求 解
导航 规律总结 1.解决圆锥曲线中的弦长问题,主要采用设而不求 的思想,通过一元二次方程根与系数的关系,借助弦长公式进 行求解,对于抛物线来说,如果是求焦点弦的长度,还可以结合 抛物线的定义有更简单的公式可用. 2.解决圆锥曲线中的面积问题,关键在于面积公式的选择, 一 般有两种思路:一是利用弦长作为底,点到直线的距离作为高, 通过S= ×底×高求得面积;二是将三角形进行分割,通过它 们的公共底边,利用顶点的纵坐标或横坐标的差的绝对值求 解. 𝟏 𝟐
【跟踪训练1】已知椭圆C=1,直线经过点E10,与 椭圆C相交于A,B两点，且EA=2EBL求： (1)直线的方程； (2)弦AB的长度 解：1)若直线的斜率不存在，则其方程为x=1,显然不满足 EA=2 EB. 故直线的斜率一定存在，设为k,则直线的方程为，y=k(化+1)
导航 【跟踪训练1】已知椭圆C: +y 2=1,直线l经过点E(-1,0),与 椭圆C相交于A,B两点,且|EA|=2|EB|.求: (1)直线l的方程; (2)弦AB的长度. 𝒙 𝟐 𝟒 解:(1)若直线l的斜率不存在,则其方程为x=-1,显然不满足 |EA|=2|EB|. 故直线l的斜率一定存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+1)
导航 y=k(x+1), 联立 浮+y2=1, 整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0. 则=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0. 设A(c1y1),B(c2y2),由根与系数的关系可得 新 X1X2 4k2.4 ② 4k2+1
导航 联立 𝒚 = 𝒌(𝒙 + 𝟏), 𝒙 𝟐 𝟒 + 𝒚 𝟐 = 𝟏, 整理得(4k 2 +1)x 2 +8k 2 x+4k 2 -4=0. 则Δ=(8k 2 ) 2 -4(4k 2+1)(4k 2 -4)=48k 2+16>0. 设A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),由根与系数的关系可得 x1+x2=- 𝟖𝒌 𝟐 𝟒𝒌 𝟐 +𝟏 ,① x1x2= 𝟒𝒌 𝟐 -𝟒 𝟒𝒌 𝟐 +𝟏 ,②
导航 因为1EA=2EBL,所以EA=-2EB, 则x1+2x2=-3,③ 联立①②③可得仁士西 6 因此直线1的方程是)广士酒+1， 即vV15x+6y+v15=0或V15x-6y+V15=0
导航 因为|EA|=2|EB|,所以𝑬 𝑨 =-2𝑬 𝑩 , 则 x1+2x2=-3,③ 联立①②③可得 k=± 𝟏𝟓 𝟔 , 因此直线 l 的方程是 y=± 𝟏𝟓 𝟔 (x+1), 即 𝟏𝟓x+6y+ 𝟏𝟓=0 或 𝟏𝟓x-6y+ 𝟏𝟓=0