全程设计 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示 及其几何意义
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示 及其几何意义
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航、 课前·基础认知 1.复数乘、除运算的三角表示 设z=r1(c0s01+isin01),32=r2(c0s02+isi02),则
导航 课前·基础认知 1.复数乘、除运算的三角表示 设z1 =r1 (cosθ1+isinθ1 ),z2 =r2 (cosθ2+isiθ2 ),则
导航 三角 ri(cos 01+isin 01)r2(cos 02+isin 02)= 乘法 形式 法则 文字 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 语言 积，积的辐角等于各复数的辐角的和 三角 r1(cos01+isin01)_ 除法 形式 r2(cos02+isin02) 法则 文字 两个复数相除，商的模等于被除数的模除 (22≠0) 语言 以除数的模所得的商，商的辐角等于被除 数的辐角减去除数的辐角所得的差
导航 乘法 法则 三角 形式 r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)= r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 文字 语言 两个复数相乘,积的模等于各复数的模的 积,积的辐角等于各复数的辐角的和 除法 法则 (z2≠0) 三角 形式 𝐫𝟏(𝒄𝒐𝒔𝛉𝟏 +𝒊𝒔𝒊𝒏𝛉𝟏) 𝐫𝟐(𝒄𝒐𝒔𝛉𝟐 +𝒊𝒔𝒊𝒏𝛉𝟐) = 𝐫𝟏 𝐫𝟐 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)] 文字 语言 两个复数相除,商的模等于被除数的模除 以除数的模所得的商,商的辐角等于被除 数的辐角减去除数的辐角所得的差
导航 2.复数乘、除运算的几何意义 设复数z1乙2对应的向量分别为0Z,0Z2 ()复数乘法的几何意义： Z 两个复数z1,2相乘时，如图，把向量0Z1 绕点O按 方向旋转角02 Z (如果02<0，就要把0z绕点O按 方向旋转角02)，再把它的模变为原来 01+02 Zy 的 倍，得到向量0Z,02表示的复数 就是.这是复数乘法的几何意义
导航 2 .复数乘、除运算的几何意义 设复数 z 1 , z 2对应的向量分别 为 . (1)复数乘法的几何意义 : 两个复数 z 1 , z2相乘时 ,如图 , 把向量 绕 点 O 按 逆时针 方向旋转角 θ2 (如果 θ2<0,就要 把 绕 点 O 按 顺时针 方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来 的 r2 倍,得到向量 表示的复数 就是 积 z 1 z 2 . 这是复数乘法的几何意义 . 𝑶 𝒁 𝟏 , 𝑶 𝒁 𝟐 𝑶𝒁 𝟏 𝑶 𝒁 , 𝑶 𝒁 𝑶𝒁 𝟏
导 2)复数除法的几何意义： 两个复数z1乙2相除时，如图，把向量0Z Z 绕点O按 方向旋转角02（如果02<0， 就要把0z绕点O按 方向旋转角102)， 再把它的模变为原来的 倍，得到向量020z 表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义
导航 (2)复数除法的几何意义: 两个复数z1 ,z2相除时,如图,把向量 绕点O按 顺时针 方向旋转角θ2 (如果θ2<0, 就要把 绕点O按 逆时针 方向旋转角|θ2 |), 再把它的模变为原来的 倍,得到向量 表示的复数就是商 .这是复数除法的几何意义. 𝟏 𝒓𝟐 𝑶 𝒁 ,𝑶 𝒁 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝑶𝒁𝟏 𝑶𝒁𝟏
导航 课堂·重难突破 复数的三角形式的乘法运算 典例剖析 1.计算下列各式： (a2(cos+isin）×V3(cosg+isin): (2(cos 5+isim (c 3isin 0(cos 25isin 25)
导航 课堂·重难突破 一 复数的三角形式的乘法运算 典例剖析 1.计算下列各式: (1)2 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛑 𝟑 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛑 𝟑 × 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝛑 𝟔 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟓𝛑 𝟔 ; (2)2(cos 5°+isin 5°)×4(cos 30°+isin 30°)× 𝟏 𝟐 (cos 25°+isin 25°)
导航 解：(2(cos2+isin）×V3(cosg+isin） -23(cos7+1sin3）-2V3i (2)2(cos 5isin )x(cos 30isin 30)(cos 25+isin 25) =8(c0s35+isin35)×(c0s25+isin25) =4(c0s60°+isin60)=2+2v3i
导航 解：(1)2 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛑 𝟑 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛑 𝟑 × 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝛑 𝟔 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟓𝛑 𝟔 =2 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝛑 𝟐 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟑𝛑 𝟐 =-2 𝟑i. (2)2(cos 5°+isin 5°)×4(cos 30°+isin 30°)× 𝟏 𝟐 (cos 25°+isin 25°) =8(cos 35°+isin 35°)× 𝟏 𝟐 (cos 25°+isin 25°) =4(cos 60°+isin 60°)=2+2 𝟑i
导 规律总结 1.若是复数的三角形式相乘，则直接利用复数 的三角形式的乘法法则进行计算，即模相乘，辐角相加. 2.若是复数的代数形式与三角形式相乘，则需先将复数统一 成代数形式或三角形式，再利用复数的代数形式的乘法法则 或三角形式的乘法法则进行计算
导航 规律总结 1.若是复数的三角形式相乘,则直接利用复数 的三角形式的乘法法则进行计算,即模相乘,辐角相加. 2.若是复数的代数形式与三角形式相乘,则需先将复数统一 成代数形式或三角形式,再利用复数的代数形式的乘法法则 或三角形式的乘法法则进行计算
导航 二复数的三角形式的除法运算 典例剖析 2.计算下列各式： (18(cosg+isin）-4(cos号+isin (2)2ic+isin30
导航 二 复数的三角形式的除法运算 典例剖析 2.计算下列各式 : (1)8 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝛑𝟔 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟕𝛑𝟔 ÷ 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝛑𝟑 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛑𝟑 ; (2)2i÷ 𝟏𝟐 (𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎°+ 𝐢𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎°)