全程设计 数学探究 用向量法研究三确形的性质
数学探究 用向量法研究三角形的性质
导航 课堂·重难突破 向量在判断三角形的形状中的应用 典例剖析 1.已知△ABC满足AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,则 △ABC是(C) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
导航 课堂·重难突破 一 向量在判断三角形的形状中的应用 典例剖析 1.已知△ABC满足 则 △ABC是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑪 + 𝑩 𝑨 ·𝑩 𝑪 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 , C
导航 解析：因为在△ABC中，AB2=AB·AC+BA·BC+CACB, 所以AB2=AB·AC-AB·BC+CA·CB =AB·(AC-BC+CA·CB=AB·AB+CA·CB, 即AB2=AB2+CACB,得CA·AB=O,所以CA⊥CB, 即CA⊥CB,可得△ABC是直角三角形
导航 解析：因为在△ABC 中, 𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑪 + 𝑩 𝑨 ·𝑩 𝑪 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 , 所以𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑪 -𝑨 𝑩 ·𝑩 𝑪 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 = 𝑨 𝑩 ·(𝑨 𝑪 -𝑩 𝑪 )+𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑩 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 , 即𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 𝟐 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 ,得𝑪 𝑨 ·𝑨 𝑩 =0,所以𝑪 𝑨 ⊥𝑪 𝑩 , 即 CA⊥CB,可得△ABC 是直角三角形
导航 规律总结 通过向量运算，可以得到三角形的边、角的值或 关系，进而判断出三角形的形状，注意一些向量式子的含义.如 本题中， 表示与AB同向的单位向量. AB
导航 规律总结 通过向量运算,可以得到三角形的边、角的值或 关系,进而判断出三角形的形状,注意一些向量式子的含义.如 本题中, 表示与 同向的单位向量. 𝑨 𝑩 |𝑨 𝑩 | 𝑨 𝑩
二向量法证明三角形的性质 导期 典例剖析 2.我们知道“三角形的三条高线相交于一点，这个交点叫做 三角形的垂心”，试证明三角形的三条高线相交于一点. 解：如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设 AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法 证明CF⊥AB. F B C D
二 向量法证明三角形的性质 导航 典例剖析 2.我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做 三角形的垂心”,试证明三角形的三条高线相交于一点. 解：如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设 AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法 证明CF⊥AB
导航 证法一：因为AD⊥BC,BE⊥AC, 所以IA⊥BC,IB⊥AC, 即IA·BC=IA(IC-IB)=1A·IC-IA·1B=0, 所以AB=AC同理，IBA=B·元 所以IAIC=B·IC,即AIC-B·C=0, 所以元·(IA-B)=ICBA=0, 所以IC⊥AB,即CF⊥AB
导航 证法一:因为 AD⊥BC,BE⊥AC, 所以𝑰 𝑨 ⊥𝑩 𝑪 , 𝑰 𝑩 ⊥𝑨 𝑪 , 即𝑰 𝑨 ·𝑩 𝑪 = 𝑰 𝑨 ·(𝑰 𝑪 - 𝑰 𝑩 )=𝑰 𝑨 ·𝑰 𝑪 -𝑰 𝑨 ·𝑰 𝑩 =0, 所以𝑰 𝑨 · 𝑰 𝑩 = 𝑰 𝑨 ·𝑰 𝑪 .同理, 𝑰 𝑩 ·𝑰 𝑨 = 𝑰 𝑩 ·𝑰 𝑪 . 所以𝑰 𝑨 ·𝑰 𝑪 = 𝑰 𝑩 ·𝑰 𝑪 ,即𝑰 𝑨 ·𝑰 𝑪 - 𝑰 𝑩 ·𝑰 𝑪 =0, 所以𝑰 𝑪 ·(𝑰 𝑨 - 𝑰 𝑩 )=𝑰 𝑪 ·𝑩 𝑨 =0, 所以 IC⊥AB,即 CF⊥AB
导航 证法二：以D为原点，BC,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平 面直角坐标系，如图 A F 2 C
导航 证法二:以D为原点,BC,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平 面直角坐标系,如图
导航 设A(0,@),B(b,0),C(c,0),I(0y) 则Bi=(-by),AC=(c,-,1C=(c,y),AB=(b,-0) 因为BE14C,所以B-AC=bc@-0,即C 所以Tc·AB=bc+w=bc+a(-9)-0, 所以IC⊥AB,即CF⊥AB
导航 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),I(0,y). 则 𝑩 𝑰 =(-b,y),𝑨 𝑪 =(c,-a),𝑰 𝑪 =(c,-y),𝑨 𝑩 =(b,-a). 因为 BE⊥AC,所以 𝑩 𝑰 ·𝑨 𝑪 =-bc-ay=0,即 y=- 𝒃𝒄 𝒂 . 所以𝑰 𝑪 ·𝑨 𝑩 =bc+ay=bc+a - 𝒃𝒄 𝒂 =0. 所以 IC⊥AB,即 CF⊥AB
导航 规律总结用向量证明三角形性质的两种基本思路 (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用 基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证 明. (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用 坐标运算进行证明
导航 规律总结 用向量证明三角形性质的两种基本思路 (1)基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用 基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证 明. (2)坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用 坐标运算进行证明
导航 三向量法判断三角形的性质 典例剖析 3.在AABC中，若动点D满足CA2-CB2+2AB·CD=0 则点D的运动轨迹一定通过△ABC的(A) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
导航 三 向量法判断三角形的性质 典例剖析 3.在△ABC 中,若动点 D 满足𝑪 𝑨 𝟐 -𝑪 𝑩 𝟐 +2𝑨 𝑩 ·𝑪 𝑫 =0, 则点 D 的运动轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 A