全程设计 第3课时 正弦定理习题课
第3课时 正弦定理习题课
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 1.正弦定理及其变形 ()定理内容：a=b sinA nB sinc (2)正弦定理的常见变形(R为外接圆半径)： ①sinA:sinB:sinC= ② a b a+b+c =2R; sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC 3a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ④sin40sinB20sinC a 、b 2R
导航 课前·基础认知 1.正弦定理及其变形 (1)定理内容: (2)正弦定理的常见变形(R为外接圆半径): ①sin A∶sin B∶sin C= a∶b∶c ; ② ③a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ④ 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝒃 𝐬𝐢𝐧𝑩 = 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑪 . 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝒃 𝐬𝐢𝐧𝑩 = 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑪 = 𝒂+𝒃+𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑨+𝐬𝐢𝐧𝑩+𝐬𝐢𝐧𝑪 =2R; sin A= 𝒂 𝟐𝑹 ,sin B= 𝒃 𝟐𝑹 ,sin C= 𝒄 𝟐𝑹
导航 微思考在△ABC中，已知acos B=bcos A.你能把其中的边 a,b化为用角表示吗？ 提示：可借助正弦定理把边化成角：2 Rsin Acos B=2Rsin Bcos A,消R移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B-cos Asin B-0
导航 微思考 在△ABC中,已知acos B=bcos A.你能把其中的边 a,b化为用角表示吗? 提示：可借助正弦定理把边化成角:2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A,消R移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B-cos Asin B=0
导 2.三角形的面积公式(S△4Bc为△ABC的面积) 0Sa1 usc-besin A-受esin Babsin C,.即任意三角形的面积等于 任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半 (2)SAABC-7h,其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长. (3)Sa4BC2a+b+c2l,其中rI分别为△1BC的内切圆半径及 △ABC的周长
导航 2.三角形的面积公式(S△ABC为△ABC 的面积) (1)S△ABC= 𝟏 𝟐 bcsin A= 𝟏 𝟐 acsin B= 𝟏 𝟐 absin C,即任意三角形的面积等于 任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半. (2)S△ABC= 𝟏 𝟐 ah,其中 a 为△ABC 的一边长,而 h 为该边上的高的长. (3)S△ABC= 𝟏 𝟐 r(a+b+c)= 𝟏 𝟐 rl,其中 r,l 分别为△ABC 的内切圆半径及 △ABC 的周长
导航 课堂·重难突破 三角形解的个数的判断 典例剖析 1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形 是否有解，有解的作出解答. (1)=10,b=20,A=80°； (2)=2v5,b=6,A=30°
导航 课堂·重难突破 一 三角形解的个数的判断 典例剖析 1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形 是否有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80° ; (2)a=2 , 𝟑 b=6,A=30°
导航 解：(1)=10，b=20,a20sin60°=10v3, .'a<bsin A, .本题无解
导航 解：(1)a=10,b=20,a20sin 60° =10 , ∴a<bsin A, ∴本题无解. 𝟑
(2)=2V3,b=6,absin A, 导加 .bsin A<a<b,∴.三角形有两解 由正弦定理得sin B-bsin4 6sin30°V3 a 2V3 2 又0°<B<180°，.∴.B=60°或B=120° 当B=-60时，C=90，°c-asinc = 2N3sin90°-4V3; sinA sin30° 当B=120时，C-30,c-asinc= 2N3sim30°-23. sinA sin30° '.B=60°，C=90°，c=4V3或B=120°，C=30°，c=2V3
导航 (2)a=2 𝟑,b=6,absin A, ∴bsin A<a<b,∴三角形有两解. 由正弦定理得 sin B= 𝒃𝐬𝐢𝐧𝑨 𝒂 = 𝟔𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎° 𝟐 𝟑 = 𝟑 𝟐 , 又 0°<B<180°,∴B=60°或 B=120°. 当 B=60°时,C=90°,c= 𝒂𝐬𝐢𝐧𝑪 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝟐 𝟑𝐬𝐢𝐧𝟗𝟎° 𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎° =4 𝟑; 当 B=120°时,C=30°,c= 𝒂𝐬𝐢𝐧𝑪 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝟐 𝟑𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎° 𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎° =2 𝟑. ∴B=60°,C=90°,c=4 𝟑或 B=120°,C=30°,c=2 𝟑
导航 规律总结已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求 出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知 两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值或者根据 该正弦值（不等于1时）在0°~180°范围内求角，一个锐角，一 个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求
导航 规律总结 已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求 出另一边的对角的正弦值,根据该正弦值求角时,要根据已知 两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据 该正弦值(不等于1时)在0° ~180°范围内求角,一个锐角,一 个钝角,只要不与三角形内角和定理矛盾,就是所求
二三角形的面积 导航 典例剖析 之在A1BC中若=2，C平c0号=2，求△4BC的面积S 25 B 解：cos唱=2ScsB2os号1号B∈(0，引inB专C-界 sin A=sin(B+C)-sin Bcos C+cos Bsin C7 10 ·a sinA s gc=asinc =c 十 2 10 sinA 2=7 10 .-acsin B-22x号× .10..4 8 亏
二 三角形的面积 导航 典例剖析 2.在 △ABC 中,若 a=2, C= 𝛑𝟒 ,cos 𝑩𝟐 = 𝟐 𝟓 𝟓 ,求 △ABC 的面积 S. 解： ∵cos 𝑩𝟐 = 𝟐 𝟓 𝟓 ,∴cos B=2cos 2 𝑩𝟐-1= 𝟑𝟓.∴ B ∈ 𝟎, 𝛑𝟐 ,∴sin B = 𝟒𝟓.∵ C= 𝛑𝟒, ∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=𝟕 𝟐 𝟏𝟎 . ∵ 𝒂𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑪,∴c=𝒂𝐬𝐢𝐧𝑪 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝟐𝟕 𝟐 𝟏𝟎 × 𝟐𝟐 = 𝟏𝟎𝟕 . ∴S=𝟏𝟐 acsin B = 𝟏𝟐 ×2× 𝟏 𝟎𝟕 × 𝟒𝟓 = 𝟖𝟕