全程设计 7.3.1 复数的三角表示式
7.3.1 复数的三角表示式
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 1.复数的三角形式 一般地，任何一个复数=叶bi都可以表示成 的形式其中，r是复数的模；0是以x轴的非负半轴为始边，向量 0Z所在射线（射线OZ☑为终边的角，叫做复数z=+bi的 r(cos0叶isin0)叫做复数z=+bi的三角表示式，简称 .为了与三角形式区分开来，叶bi叫做复数的代数表示式， 简称
导航 课前·基础认知 1.复数的三角形式 一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成 r(cos θ+isin θ) 的形式.其中,r是复数的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量 所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的 辐角 . r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称 三角形 式 .为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式, 简称 代数形式 . 𝑶 𝒁
导航 2.辐角的主值 规定在 范围内的辐角0的值为辐角的主值.通常 记作 ,即0≤argz<2m. 微提醒 在复数的三角形式中，辐角常取它的主值，可使表 达式简便，又便于运算，但辐角不一定取主值！
导航 2.辐角的主值 规定在 0≤θ<2π 范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常 记作 arg z ,即0≤arg z<2π. 微提醒 在复数的三角形式中,辐角常取它的主值,可使表 达式简便,又便于运算,但辐角不一定取主值
导航 课堂·重难突破 复数的三角形式 典例剖析 1判断下列复数是否为三角形式 (1)3(cos60°+isin60°)(2)-2(cos30°+isin30°)； (3)4(cos20°-isin20°)；(4)2sin45°+ic0s45°). 解：复数的三角形式是r(cos0叶isin0),其中≥0，故(1)是，(2)不 是，3)不是，(4)不是. 规律总结判断复数是不是三角形式的核心是把握r(cos+isin )这一结构形式，其中≥0
导航 课堂·重难突破 一 复数的三角形式 典例剖析 1.判断下列复数是否为三角形式. (1)3(cos 60°+isin 60°);(2)-2(cos 30°+isin 30°); (3)4(cos 20°-isin 20°);(4)2(sin 45°+icos 45°). 解：复数的三角形式是r(cos θ+isin θ),其中r≥0,故(1)是,(2)不 是,(3)不是,(4)不是. 规律总结 判断复数是不是三角形式的核心是把握r(cos θ+isin θ)这一结构形式,其中r≥0
导航 二复数的代数形式化为三角形式 典例剖析 2.把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)v3+i;2)v2-√2i 解：(1)=V3+1=2,因为V3+i对应的点在第一象限， 所以cos即0g所以v3+i-2(c0sg+isin》
导航 二 复数的代数形式化为三角形式 典例剖析 2.把下列复数的代数形式化成三角形式: 解：(1)r= 𝟑 + 𝟏=2,因为 𝟑+i 对应的点在第一象限, 所以 cos θ= 𝟑 𝟐 ,即 θ= 𝛑 𝟔 ,所以 𝟑+i=2 𝐜𝐨𝐬 𝛑 𝟔 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛑 𝟔 . (1) 𝟑+i;(2) 𝟐 − 𝟐i
导航 2)=V2+2=2,c0s0 2 又因为2V2i对应的点位于第四象限，所以7 所以vz-V2i=2(cos7朵+isin军）
导航 (2)r= 𝟐 + 𝟐=2,cos θ= 𝟐 𝟐 , 又因为 𝟐- 𝟐i 对应的点位于第四象限,所以 θ= 𝟕𝛑 𝟒 . 所以 𝟐- 𝟐i=2 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝛑 𝟒 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟕𝛑 𝟒
导航 规律总结复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模 (2)决定辐角所在的象限 3)根据象限求出辐角. (4)求出复数的三角形式
导航 规律总结 复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模. (2)决定辐角所在的象限. (3)根据象限求出辐角. (4)求出复数的三角形式
导期 三复数的三角形式和代数形式的综合应用 典例剖析 3.分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示 成代数形式 (1)4(cosisin) (2c0s60+isin60°5 (32(cos号-isin)
导航 三 复数的三角形式和代数形式的综合应用 典例剖析 3.分别指出下列复数的模和辐角的主值,并把这些复数表示 成代数形式. (1)4 𝐜𝐨𝐬 𝛑 𝟔 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛑 𝟔 ; (2) 𝟑 𝟐 (cos 60°+isin 60°); (3)2 𝐜𝐨𝐬 𝛑 𝟑 -𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛑 𝟑
导航 解：（①复数4(cos名+isin)的模=4， 辐角的主值为0-g4(cosg+isin》 2停cs60+sim60P)的模辐角的主值为0-60e 受气cos60+in60)×2+×- + 4
导航 解：(1)复数 4 𝐜𝐨𝐬 𝛑 𝟔 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛑 𝟔 的模 r=4, 辐角的主值为 θ= 𝛑 𝟔 .4 𝐜𝐨𝐬 𝛑 𝟔 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛑 𝟔 =4cos𝛑 𝟔 +4isin𝛑 𝟔 =4× 𝟑 𝟐 +4×𝟏 𝟐 i=2 𝟑+2i. (2) 𝟑 𝟐 (cos 60°+isin 60°)的模 r= 𝟑 𝟐 ,辐角的主值为 θ=60°. 𝟑 𝟐 (cos 60°+isin 60°)= 𝟑 𝟐 × 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 × 𝟑 𝟐 i= 𝟑 𝟒 + 𝟑 𝟒 i