全程设计 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 1.平面向量数量积的坐标表示 已知a=c1y1),b=c2y2),则ab= ,这就是说，两个 向量的数量积等于它们对应坐标的
导航 课前·基础认知 1.平面向量数量积的坐标表示 已知a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),则a·b= x1x2+y1 y2 ,这就是说,两个 向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和
导 2)向量的夹角公式：设a,b都是非零向量，=(c1y1),b=(K2y2),0 是与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 cos 0= a.b albl (3)两个向量垂直的充要条件：设=(c1y1),b=(c2y2),则a⊥b台
导航 (2)向量的夹角公式:设a,b都是非零向量,a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),θ 是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得 (3)两个向量垂直的充要条件:设a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),则a⊥b⇔ x1x2+y1 y2=0 . cos θ= 𝒂·𝒃 |𝒂||𝒃| = 𝒙𝟏 𝒙𝟐 +𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒙𝟏 𝟐 +𝒚𝟏 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 +𝒚𝟐 𝟐
导 微提醒 1.设向量=(x1y1),b=(x2y2) 公式ab=|abcos与b=xx2+yy2都可以用来求两向量 的数量积 2.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆.若=（化1y1),b=(x2y2),则a∥b→xy'2 x2zy1=0,M⊥b台xK2ty1y2=0
导航 微提醒 1.设向量a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ). 公式a·b=|a||b|cos与a·b=x1x2+y1 y2都可以用来求两向量 的数量积. 2.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可 以对比学习、记忆.若a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),则a∥b⇔x1 y2 - x2 y1=0,a⊥b⇔x1x2+y1 y2=0
微思考 已知向量=（化y),你知道与共线的单位向量的坐 标是什么吗？与垂直的单位向量的坐标又是什么？ 提示：设与共线的单位向量为o, 其中正、负号分别表示与同向和反向
导航 微思考 已知向量a=(x,y),你知道与a共线的单位向量的坐 标是什么吗?与a垂直的单位向量的坐标又是什么? 提示：设与a共线的单位向量为a0 , 则 a0=± 𝒂 |𝒂| =± 𝒙 |𝒂| , 𝒚 |𝒂| =± 𝒙 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 , 𝒚 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 , 其中正、负号分别表示与 a 同向和反向
导航 己知b=(y,x)和=(cy)垂直， 乐5生的世运生新大忘 其中正、负号表示不同的方向
导航 已知 b=(-y,x)和 a=(x,y)垂直, 所以与 a 垂直的单位向量 b0的坐标为± −𝒚 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 , 𝒙 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 , 其中正、负号表示不同的方向
导航 课堂·重难突破 平面向量数量积的坐标运算 典例剖析 1.(1)已知=(2，-1)，b=(1,-1),则(a+2b)(-3b)=()） A.10 B.-10 C.3 D.-3 答案：B 解析：因为+2b=(4,-3),-3b=(-1,2), 所以(a+2b)(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10
导航 课堂·重难突破 一 平面向量数量积的坐标运算 典例剖析 1.(1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=( ) A.10 B.-10 C.3 D.-3 答案：B 解析：因为a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2), 所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10
导航 2)己知a与b同向，b=(1,2),b=10. ①求a的坐标； ②若c=(2,-1),求a(bc)及(ab)c 解：①设=2b=(2,22)2>0), 则ab=+4=10,解得=2，故=(2,4). ②因为bc=1X2+2X(-1)=0,Mb=10, 所以a(bC=0=0, (mb)c=10(2,-1)=(20,-10):
导航 (2)已知 a 与 b同向 , b=(1,2), a · b=10 . ① 求 a的坐标 ; ② 若 c=(2, -1), 求 a ( b · c ) 及 ( a · b )c. 解： ① 设 a =λb=(λ,2 λ)(λ>0), 则 a · b =λ+4 λ=10,解得λ=2, 故 a=(2,4) . ②因为 b · c=1 ×2+2 × ( -1)=0, a · b=10, 所以 a ( b · c)=0· a=0, ( a · b ) c=10(2, -1)=(20, -10)
导 规律总结 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运 算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示， 直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展 开，再依据已知计算， (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图 形的特征，并写出相应点的坐标即可求解
导航 规律总结 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运 算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示, 直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展 开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图 形的特征,并写出相应点的坐标即可求解