全程设计 6.2.3 向量的数乘运算
6.2.3 向量的数乘运算
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导 课前·基础认知 1向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个，这 种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①2al= ②当>0时，a的方向与a的方向 当<0时，a的方向与a的方向
导航 课前·基础认知 1.向量的数乘运算 (1)定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量 ,这 种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|= |λ||a| ; ②当λ>0时,λa的方向与a的方向 相同 ; 当λ<0时,λa的方向与a的方向 相反
导航 2)运算律：设2，为实数，那么： ①(uo)= ②(2+m)M= ③2(a+b)= 特别地，我们有(-)= ,2(a-b)= 3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性 运算，向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量4，b,以 及任意实数212，恒有2(1M士2b)=
导航 (2)运算律:设λ,μ为实数,那么: ①λ(μa)= (λμ)a ; ②(λ+μ)a= λa+μa ; ③λ(a+b)= λa+λb . 特别地,我们有(-λ)a= -(λa) = λ(-a) ,λ(a-b)= λa-λb . (3)线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性 运算,向量线性运算的结果仍是 向量 .对于任意向量a,b,以 及任意实数λ,μ1 ,μ2 ,恒有λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b
导 微提醒实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运 算，例如2+a,-u是没有意义的. 微思考1向量的数乘与实数的乘法有什么区别？ 提示：向量的数乘与实数的乘法是有区别的前者的结果是 一个向量，后者的结果是一个实数：要注意实数与向量可以求 积但是不能进行加减运算，而实数可以进行加减运算
导航 微提醒 实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运 算,例如λ+a,λ-a是没有意义的. 微思考1 向量的数乘与实数的乘法有什么区别? 提示：向量的数乘与实数的乘法是有区别的,前者的结果是 一个向量,后者的结果是一个实数;要注意实数与向量可以求 积,但是不能进行加减运算,而实数可以进行加减运算
导航 2.共线向量定理 向量（呋0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数2， 使 微思考2把定理中的“a≠0”去掉可以吗？ 提示：定理中呋0不能去掉若=b=0,则实数可以是任意实 数；若=0，b0,则不存在实数2，使得b=2a
导航 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ, 使 b=λa . 微思考2把定理中的“a≠0”去掉可以吗? 提示：定理中a≠0不能去掉.若a=b=0,则实数λ可以是任意实 数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa
导航 课堂·重难突破 一、向量的线性运算 1.化简下列各式： (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); 2)2[2(2a+8b)-4(4a-2bl 解：(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式-=24+166-16a+8b)-12a+24b)-2a+46
导航 课堂·重难突破 解：(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式= 𝟏 𝟔 (4a+16b-16a+8b)= 𝟏 𝟔 (-12a+24b)=-2a+4b. 一、向量的线性运算 1.化简下列各式: (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2) [2(2a+8b)-4(4a-2b)]. 1 6
导航 规律总结 向量数乘运算的方法向量的数乘运算可类似 于多项式的代数运算例如，实数运算中的去括号、合并同类 项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用， 但是这里的“同类项“公因式”指向量，实数看作是向量的系 数
导航 规律总结 向量数乘运算的方法向量的数乘运算可类似 于多项式的代数运算.例如,实数运算中的去括号、合并同类 项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用, 但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系 数
导 二用已知向量表示未知向量 典例剖析 2.如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC,M,N 分别是DC,AB的中点，已知AB=a,AD=b,DC=c,试用a,b,c表 示BC,MN. D M 解：BC=BA+AD+DC=-a+b+c .MN=MD+DA+AN, N 又MD-DC,DA=Ad,AN-iAB∴M=2-b2c
导航 二 用已知向量表示未知向量 典例剖析 2.如图所示,四边形 ABCD 是一个等腰梯形,AB ∥DC,M,N 分别是 DC,AB 的中点,已知 𝑨 𝑩 = a,𝑨 𝑫 = b,𝑫 𝑪 = c,试用 a,b,c 表 示 𝑩 𝑪 , 𝑴 𝑵 . 解：𝑩 𝑪 = 𝑩 𝑨 + 𝑨 𝑫 + 𝑫 𝑪 =-a+b+c. ∵𝑴 𝑵 = 𝑴 𝑫 + 𝑫 𝑨 + 𝑨 𝑵 , 又𝑴 𝑫 =-𝟏𝟐 𝑫 𝑪 , 𝑫 𝑨 =-𝑨 𝑫 ,𝑨 𝑵 = 𝟏𝟐𝑨 𝑩 ,∴ 𝑴 𝑵 = 𝟏𝟐 a-b-𝟏𝟐 c
规律总结 导航 用已知向量表示其他向量的两种方法 (少直接法 画图 结合图形的特征，把待求向量放在 三角形或平行四边形中 结合向量的三角形法则或平行四边 表示 形法则及向量共线定理用已知向量 表示未知向量 (2)方程法.当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则 和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系， 然后解关于所求向量的方程.提醒：用已知向量表示未知向量的 关键是弄清向量之间的数量关系
规律总结 导航 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法. (2)方程法.当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则 和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系, 然后解关于所求向量的方程.提醒:用已知向量表示未知向量的 关键是弄清向量之间的数量关系