全程设计 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 1.平面向量的正交分解及坐标表示 ()平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 正交分解
导航 课前·基础认知 1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相 垂直 的向量,叫做把向量作 正交分解
导期 2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向 的两个 向量分别为，取{i,}作为 .对于平面内的任 意一个向量a,由平面向量基本定理可知， 一对实 数x,y,使得=xi+y,我们把有序数对 叫做向量a的坐 标，记作a=化，y),其中x叫做a在x轴上的坐标y叫做a在y轴上的 坐标，=（化y)叫做向量的坐标表示
导航 (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向 相同 的两个 单位 向量分别为i,j,取{i,j}作为 基底 .对于平面内的任 意一个向量a,由平面向量基本定理可知, 有且只有 一对实 数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序数对 (x,y) 叫做向量a的坐 标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的 坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示
导期 3)向量坐标与点的坐标之间的联系 在直角坐标平面中，以原点O为起点作0A=,则点A的位置由 向量a唯一确定设0A=xi+yj,则向量OA的坐标xy)就是 的坐标；反过来，终点A的坐标y)也就是向量0A的坐标因 为O在，所以终点A的坐标x,y)就是向量 的坐标这样 就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系
导航 (3)向量坐标与点的坐标之间的联系 在直角坐标平面中,以原点O为起点作 =a,则点A的位置由 向量a唯一确定.设 =xi+yj,则向量 的坐标(x,y)就是 终点 A 的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量 的坐标.因 为 =a,所以终点A的坐标(x,y)就是向量 a 的坐标.这样 就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 𝑶 𝑨 𝑶 𝑨 𝑶 𝑨 𝑶 𝑨 𝑶 𝑨
导航 2.平面向量加、减运算的坐标表示 已知a=(c1y1),b=(x2y2),则有： 加法 a+b- 减法 a-b= 重要 已知点Ac1y1),B(x2y2),则AB= 结论 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的 的坐标减去 的坐标
导航 2 .平面向量加、减运算的坐标表示 已知a= (x 1 ,y 1 ),b= (x 2 ,y 2 ),则有 : 加法 a+b= (x1+x 2,y1+y 2) 减法 a-b= (x1-x 2,y1-y 2) 重要 结论 已知点 A(x1,y1),B(x 2,y 2), 则 𝑨 𝑩 = (x 2-x1,y 2-y1) . 因此,一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标
导航 微提醒向量的坐标和其终点的坐标不一定相同.当且仅当 向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同
导航 微提醒 向量的坐标和其终点的坐标不一定相同.当且仅当 向量的起点在原点时,向量的坐标才和其终点的坐标相同
导航 课堂·重难突破 平面向量的坐标表示 典例剖析 B y 1.如图，在平面直角坐标系中， 0A=4,AB=3,∠AOx=45°，∠OAB=105° 105° A OA=,AB=b.四边形OABC为平行四边形 1)求向量4，b的坐标； 45° (2)求向量BA的坐标； 3)求点B的坐标
导航 课堂·重难突破 一、平面向量的坐标表示 典例剖析 1.如图,在平面直角坐标系中, OA=4,AB=3,∠AOx=45° ,∠OAB=105° , 四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 的坐标; (3)求点B的坐标. 𝑶 𝑨 =a,𝑨 𝑩 =b. 𝑩 𝑨
导航 解：(1)作AM⊥x轴于点M, 则0M-04c0s454×2-2NZ,4M-01sin45o=4×2VZ, 故A(2V2,2V2),即=(2V2,2√2)， 由题意可知∠A0C=180°-105=75°，∠A0y=45°，故∠C0y=30°. 又0c=AB=3c(-,3）A正-0c-(3,)即(，3
导航 解：(1)作 AM⊥x 轴于点 M, 则 OM=OA·cos 45°=4× 𝟐 𝟐 =2 𝟐,AM=OA·sin 45°=4× 𝟐 𝟐 =2 𝟐, 故 A(2 𝟐,2 𝟐),即 a=(2 𝟐,2 𝟐). 由题意可知∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,故∠COy=30°. 又 OC=AB=3,∴C - 𝟑 𝟐 , 𝟑 𝟑 𝟐 ,∴𝑨 𝑩 =𝑶 𝑪 = - 𝟑 𝟐 , 𝟑 𝟑 𝟐 ,即 b= - 𝟑 𝟐 , 𝟑 𝟑 𝟐
导航 28-正=（层32） 3:0B-0A+A丽-22,2②+(，3) =(2v-2,2vz+3) ·点B的坐标为(2V2-2,2V2+3)
导航 (3)∵𝑶 𝑩 =𝑶 𝑨 + 𝑨 𝑩 =(2 𝟐,2 𝟐)+ - 𝟑 𝟐 , 𝟑 𝟑 𝟐 = 𝟐 𝟐- 𝟑 𝟐 ,𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟐 , ∴点 B 的坐标为 𝟐 𝟐- 𝟑 𝟐 ,𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟐 . (2)𝑩 𝑨 =-𝑨 𝑩 = 𝟑 𝟐 ,- 𝟑 𝟑 𝟐