全程设计 第2课时 向量数量积的应用
第2课时 向量数量积的应用
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 1向量数量积的运算律 (1)b=ba.(2)2)b=2(ab)=m(2.b) (3)(a+b)c=ac+b.c. 微思考(b)c=(bc)成立吗？ 提示：不一定如当a=b=c时，有(b)c=(bc成立，但当a,c不 共线时，因为b,bc是数量积，是实数，不是向量，所以(b)c与 向量c共线，a(bc)与向量共线.因此，(ab)c≠(bc)
导航 课前·基础认知 1.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 微思考 (a·b)c=a(b·c)成立吗? 提示：不一定.如当a=b=c时,有(a·b)c=a(b·c)成立,但当a,c不 共线时,因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)c与 向量c共线,a(b·c)与向量a共线.因此,(a·b)c≠a(b·c)
导航、 2.向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=2+2ab+b2 (a-b)2=2-2abb2 (a-b)2=2-2a-b+b2 (a+b)a-b)=2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=2+b2+c2+ (+btc)2=a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ca 2a-b+2bc+2c-a
导航 2 .向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2 =a 2 + 2ab + b 2 (a + b)2 =a 2 + 2 a·b + b 2 (a-b)2 =a 2-2ab + b 2 (a-b)2 =a 2-2 a·b + b 2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2 =a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b + c)2 =a 2 + b 2 + c 2 + 2 a·b + 2 b·c + 2 c·a
导航 课堂·重难突破 2、 向量数量积的运算性质 典例剖析 1.设a,b,c是任意的非零向量，且相互之间不共线，给出下列结 论： ①ac-bc=(a-b)c;②(bc)a-(c)b不与c垂直； ③la-lb1<a-bl④(3a+2b)(3-2b)=942-4b12. 其中正确的是 (填序号) 答案：①③④
导航 课堂·重难突破 一、向量数量积的运算性质 典例剖析 1.设a,b,c是任意的非零向量,且相互之间不共线,给出下列结 论: ①a·c-b·c=(a-b)·c;②(b·c)a-(c·a)b不与c垂直; ③|a|-|b|<|a-b|;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2 -4|b|2 . 其中正确的是 (填序号). 答案：①③④
导航 解析：根据向量数量积的分配律知①中结论正确； [(bc)a-(ca)b]小c =(bc(ac)-(c)(bc=0, ∴.(bc)a-(cob与c垂直，故②中结论错误； .,b不共线， ∴.d,b,la-b组成三角形的三条边， .∴-b<a-b成立，③中结论正确； ④中结论正确.故正确结论的序号是①③④
导航 解析：根据向量数量积的分配律知①中结论正确; ∵[(b·c)a-(c·a)b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, ∴(b·c)a-(c·a)b与c垂直,故②中结论错误; ∵a,b不共线, ∴|a|,|b|,|a-b|组成三角形的三条边, ∴|a|-|b|<|a-b|成立,③中结论正确; ④中结论正确.故正确结论的序号是①③④
导航 二、求向量的模 典例剖析 2.(1)已知向量4，b的夹角为60°，d=2,1b1=1, 则a+2b= 答案：2V3 解析：a+2b12=(+2b)2 =la+2·la2bcos60°+(2b)2 =2+2×2×2×2+22=4+4+4=12, 故|a+2b=V12=2√3
导航 二、求向量的模 典例剖析 2.(1)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1, 则|a+2b|= . 答案 ： 解析：|a+2b| 2 = ( a+2 b ) 2 =|a| 2+2·|a| ·|2b|·cos 60 °+(2|b| ) 2 2 𝟑 = 2 2 + 2 × 2 × 2 × 𝟏𝟐 + 2 2 = 4 + 4 + 4 =12, 故|a+ 2 b|= 𝟏 𝟐 = 2 𝟑
导航 (2)己知向量a与b夹角为45°，且|a=1,2a+b=V10,求b 解：因为2a+b=V10,所以(2a+b)2=10,即4a2+4b+b2=10. 又向量a与b的夹角为45°，且l@=1, 所以4x12+4x1x1b×+1b=10,整理得1b+2VZh6=0, 解得1b=√2或b=-3v√2（舍去），故1b1的值为v2
导航 解：因为|2a+b|= 𝟏𝟎,所以(2a+b) 2 =10,即 4a 2 +4a·b+b 2 =10. 又向量 a 与 b 的夹角为 45°,且|a|=1, 所以 4×1 2 +4×1×|b|× 𝟐 𝟐 +|b| 2 =10,整理得|b| 2 +2 𝟐|b|-6=0, 解得|b|= 𝟐或|b|=-3 𝟐(舍去),故|b|的值为 𝟐. (2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a+b|= 𝟏𝟎,求|b|
导 规律总结求向量的模的常见思路及方法 ()求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并 灵活应用a2=2,勿忘记开方， (2)=2=或=√a2,此性质可用来求向量的模，可以实现 实数运算与向量运算的相互转化 (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2=2士2ab+b2,(a+b)(a b)=2-b2等
导航 规律总结 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并 灵活应用a 2=|a|2 ,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|= ,此性质可用来求向量的模,可以实现 实数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b) 2=a2±2a·b+b 2 ,(a+b)·(ab)=a2 -b 2等. 𝒂𝟐
三与向量垂直、夹角有关的问题 典例剖析 3.(1)已知e,与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e+ke2与 ke1+e2的夹角为锐角，则k的取值范围为 答案：(0,1)U(1,+oo) 解析：.e1+ke2与ke1te2的夹角为锐角，e,与e2是两个互相垂 直的单位向量， ∴.(e+ke2)(ke1+e2)=ke+ke经+(k2+1)e1e2=2k>0,∴.>0. 当k=1时，e+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°，不符合题意，舍去， 综上，k的取值范围为>0且1
导航 三 与向量垂直、夹角有关的问题 典例剖析 3.(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与 ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为 . 答案：(0,1)∪(1,+∞) 解析：∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,e1与e2是两个互相垂 直的单位向量, ∴(e1+ke2 )·(ke1+e2 )= +(k 2+1)e1·e2 =2k>0,∴k>0. 当k=1时,e1+ke2=ke1+e2 ,它们的夹角为0° ,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围为k>0且k≠1. k𝒆𝟏 𝟐 +k𝒆𝟐 𝟐