全程设计 6.4.1平面几何中的向量方法
6.4.1 平面几何中的向量方法
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导 课前·基础认知 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为 ● 2.通过 研究几何元素之间的关系，如距离、夹 角等问题； 3把运算结果“ 成几何关系
导航 课前·基础认知 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几 何元素,将平面几何问题转化为 向量问题 ; 2.通过 向量运算 ,研究几何元素之间的关系,如距离、夹 角等问题; 3.把运算结果“ 翻译 ”成几何关系
导期 微思考 (1)证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的 哪些知识？ 提示：可用向量共线的相关知识： 已知=（化1y1),b=(c2y2),则M∥b台=2b台xy'2x2y1=0 (b≠0,2∈R) (2)证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 提示：可用向量垂直的相关知识： 己知=(c1y1),b=(化2y2),则a⊥b台ab=0→x1心2+yy2=0
导航 微思考 (1)证明线线平行、点共线及相似问题,可用向量的 哪些知识? 提示：可用向量共线的相关知识: 已知a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),则a∥b⇔a=λb⇔x1 y2 -x2 y1=0 (b≠0,λ∈R). (2)证明垂直问题,可用向量的哪些知识? 提示：可用向量垂直的相关知识: 已知a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1 y2=0
导航 课堂·重难突破 利用向量证明平面几何问题 典例剖析 1.已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F 在BC上，且BF:FC=2:1,AF与EC相交于点P,求四边形 APCD的面积
导航 课堂·重难突破 一 利用向量证明平面几何问题 典例剖析 1.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F 在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形 APCD的面积
解：以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线 为y轴建立直角坐标系，如图所示，A(0,0),B(6,0),C(6,6), D0,6),F6,4),E(3,0),设Py),则AP=(K,y),AF=(6,4), EP=c-3y),EC=3,6)由点A,P,F和点C,P,E分别共线， 9 4x-6y=0, 得{6x3)-3y=0,解得 x= 故点P的坐标为(，3) y=3
导航 解：以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线 为y轴建立直角坐标系,如图所示,A(0,0),B(6,0),C(6,6), D(0,6),F(6,4),E(3,0), 设 P(x,y),则𝑨 𝑷 =(x,y),𝑨 𝑭 =(6,4), 𝑬 𝑷 =(x-3,y),𝑬 𝑪 =(3,6).由点 A,P,F 和点 C,P,E 分别共线, 得 𝟒𝒙-𝟔𝒚 = 𝟎, 𝟔(𝒙-𝟑)-𝟑𝒚 = 𝟎, 解得 𝒙 = 𝟗 𝟐 , 𝒚 = 𝟑, 故点 P 的坐标为 𝟗 𝟐 ,𝟑
导航 设四边形APCD的面积为S四边形APCD 正方形ABCD的面积为S正方形ABCD, 三角形AEP和三角形CEB的面积分别为S△4EP和S△CcEB, 则S四边形APCD=S正方形ABCD-S△MEPS△CEB =36-2x3x323x65
导航 设四边形APCD的面积为S四边形APCD, 正方形ABCD的面积为S正方形ABCD, 三角形AEP和三角形CEB的面积分别为S△AEP和S△CEB, 则S四边形APCD =S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB =36- 𝟏 𝟐 ×3×3- 𝟏 𝟐 ×3×6= 𝟒𝟓 𝟐
导航 规律总结向量的坐标运算法的四个步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系. (2)把相关向量坐标化. (3)用向量的坐标运算找出相应关系！ (4)把几何问题向量化
导航 规律总结 向量的坐标运算法的四个步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系. (2)把相关向量坐标化. (3)用向量的坐标运算找出相应关系. (4)把几何问题向量化
导航 二平面几何中的长度问题 典例剖析 2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m,BC=n (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD=知； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度 (用m,n表示)
导航 二 平面几何中的长度问题 典例剖析 2.已知在Rt△ABC中,∠C=90° ,设AC=m,BC=n. (1)若D为斜边AB的中点,求证:CD= AB; (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度 (用m,n表示). 𝟏 𝟐
导 )证明：以点C为坐标原点，以CB,CA的方向分别为x轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,m,B(n,0) 因为点D为AB的中点， 所以D(G,罗)，所以cD2Vm2+n, 又AB=Vm2+nZ,所以cD2AB, B 即CD2AB
导航 (1)证明：以点C为坐标原点,以 的方向分别为x轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). 因为点D为AB的中点, 𝑪 𝑩 ,𝑪 𝑨 所以 D 𝒏 𝟐 , 𝒎 𝟐 ,所以|𝑪 𝑫 |= 𝟏 𝟐 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐, 又|𝑨 𝑩 |= 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐,所以|𝑪 𝑫 |= 𝟏 𝟐 |𝑨 𝑩 |, 即 CD= 𝟏 𝟐 AB