全程设计 7.2.2 复数的乘、除运算
7.2.2 复数的乘、除运算
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 1.复数的乘法法则 (1)复数的乘法法则 设z1=+bi,z2=c+i(a,b,C,d∈R)是任意两个复数，那么它们的 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= 微思考1复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，不同点在于必须 在所得结果中把2换成1，再把实部、虚部分别合并
导航 课前·基础认知 1.复数的乘法法则 (1)复数的乘法法则 设z1 =a+bi,z2 =c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的 积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2= (ac-bd)+(ad+bc)i . 微思考1 复数的乘法与多项式的乘法有何不同? 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的,不同点在于必须 在所得结果中把i 2换成-1,再把实部、虚部分别合并
导航、 2)复数乘法的运算律 对于任意乙1,32d3∈C,有 交换律 Z1Z2=72Z1 结合律 (Z1z2)Z3= 乘法对加法的分配律 k1(z2+z3)=
导航 (2)复数乘法的运算律 对于任意 z 1 , z2 , z 3 ∈C, 有 交换律 z1z 2 = z 2 z1 结合律 (z1z 2)z3 = z1(z 2 z3) 乘法对加法的分配律 z1(z 2 + z 3)= z1z 2 + z1z3
导航 微思考2z2=z2,正确吗？ 提示：不正确例如，2=1，而2=-1. 2.复数的除法法则 ac bd bc-ad (a+bi)÷(c+d)= e2+平+e2+ (a,b,c,d∈R,且c+di≠0. 微思考3若=z,则z是什么数？这个性质有什么作用？ 提示：=z曰z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数
导航 微思考2 |z| 2 = z 2 ,正确吗 ? 提示 ：不正确 .例如 ,|i|2=1, 而 i 2 = - 1 . 2 .复数的除法法则 ( a + bi) ÷ ( c + di)= I ( a , b , c , d ∈R, 且 c + di≠0) . 𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒅 𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐 + 𝒃 𝒄 - 𝒂 𝒅 𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐 微思考 3 若 z = 𝒛,则 z 是什么数 ?这个性质有什么作用 ? 提示： z = 𝒛 ⇔z ∈ R,利用这个性质可证明 一个复数为实数
导航 微思考4三个实数，z,zz具有怎样的关系？ 提示：设z=+bi(4,b∈R),则z=-bi, 所以z=Va2+b2,=、a2+(←b)2=Va2+b, zz=(a+bi(a-bi=2-(b12=2+b2,所以z2=☑=zz
导航 微思考 4 三个实数|z|,|𝒛|,z𝒛具有怎样的关系? 提示：设 z=a+bi(a,b∈R),则𝒛=a-bi, 所以|z|= 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐,|𝒛|= 𝒂𝟐 + (-𝒃) 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐, z𝒛=(a+bi)(a-bi)=a 2 -(bi) 2 =a 2 +b 2 ,所以|z|2 =|𝒛| 2 =z𝒛
导航、 3.实系数一元二次方程x2+bx+c=0(a0)的根 ()在实数范围内讨论 的情况 x2+bx+c=0(a味0)的根 >0 x= =0 x= 4<0
导航 3.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 (1)在实数范围内讨论 Δ 的情况 ax2 +bx+c=0(a≠0)的根 Δ>0 x= -𝐛± 𝐛𝟐-𝟒𝐚𝐜 𝟐𝐚 Δ=0 x= - 𝐛 𝟐𝐚 Δ<0 无实数根
导航、 (2)在复数范围内讨论 4的情况 ax2+bx+c=0(≠0)的根 >0 x= =0 x= <0 =
导航 (2)在复数范围内讨论 Δ 的情况 ax 2 +bx + c=0(a ≠ 0)的根 Δ > 0 x = -𝐛 ± 𝐛 𝟐-𝟒 𝐚 𝐜 𝟐 𝐚 Δ=0 x = - 𝐛𝟐𝐚 Δ<0 x= -𝐛± -(𝐛𝟐-𝟒 𝐚 𝐜)𝒊 𝟐𝐚
导 课堂·重难突破 复数的乘法运算 典例剖析 1.(1)若复数(1-)(+)在复平面内对应的点在第二象限，则实 数a的取值范围是(B) A.(-o0,1)B.(-oo,-1)C.(1,+oo)D.(-1,+oo) 解析：设z=(1-i)(+i)=(a+1)+(1-0i, 因为对应的点在第二象限，所以+10， 1-a>0,0 解得a<1,故选B
导航 课堂·重难突破 一 复数的乘法运算 典例剖析 1.(1)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实 数a的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析：设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i, 因为对应的点在第二象限,所以 解得a 𝟎, B
导航 (2)计算：①(1-2i13+41(-2+i； ②3+4i3-4i)； ③1+i)2. 解：①1-2i)3+41)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. ②3+4i)3-41)=32-(41)2=9-(-16)=25. ③(1+i)2=1+2i+i2=2i
导航 (2)计算:①(1-2i)(3+4i)(-2+i); ②(3+4i)(3-4i); ③(1+i)2 . 解:①(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. ②(3+4i)(3-4i)=32 -(4i)2=9-(-16)=25. ③(1+i)2=1+2i+i2=2i