第十三章检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是(C) D 2.下列图形中，只有两条对称轴的是(B) A.正六边形 B.长方形 C.等腰梯形 D圆 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上，且BD=BC=AD,则∠A的度数为(B) A.30° B.36° C.45° D.70° 4把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平 移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换结合轴对称变换和平移变换的有关 性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图）的对应点所具有的 性质是(B) A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分 C.对应点连线被对称轴垂直平分
第十三章检测 一、选择题 (每小题 3 分,共 30 分) 1.下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是 (C). A B C D 2.下列图形中,只有两条对称轴的是(B). A.正六边形 B.长方形 C.等腰梯形 D.圆 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在边 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 的度数为(B). A.30° B.36° C.45° D.70° 4.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平 移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关 性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形 (如图)的对应点所具有的 性质是(B). A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分 C.对应点连线被对称轴垂直平分
D.对应点连线互相平行 5.若等腰三角形的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为(B) A.50°，50° B.40°，40 C.100°，20° D.40°，40°或100°，20° 6.线段MN在平面直角坐标系中的位置如图所示，若线段MW与MN关于y轴对 称，则点M的对称点M的坐标为(D) A.(4,2) B.(-4,2) C.(4,-2) D.(4,-2) 7.一张正方形纸片经过两次对折，并在如图位置上剪去一个小正方形，打开后的图 案是(B) A B D 8.如图，点B,C,E在一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一 定成立的是(D) A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC
D.对应点连线互相平行 5.若等腰三角形的一个角等于 100°,则另两个内角的度数分别为(B). A.50°,50° B.40°,40° C.100°,20° D.40°,40°或 100°,20° 6.线段 MN 在平面直角坐标系中的位置如图所示,若线段 M'N'与 MN 关于 y 轴对 称,则点 M 的对称点 M'的坐标为(D). A.(4,2) B.(-4,2) C.(-4,-2) D.(4,-2) 7.一张正方形纸片经过两次对折,并在如图位置上剪去一个小正方形,打开后的图 案是(B). A B C D 8.如图,点 B,C,E 在一条直线上,△ABC 与△CDE 都是等边三角形,则下列结论不一 定成立的是(D). A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC
C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA 9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，若CD=4,则线段DF的 长度为B). A.2 B.4 C.3 D.42 10.如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40的方向行驶40km到达B地， 再由B地向北偏西20的方向行驶40km到达C地，则A,C两地相距(B) A.30 km B.40 km C.50 km D.60 km 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.观察下图中各组图形，其中成轴对称的是①②④.（填序号） ① ③ ④ 12.已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是1<a≤ 13.一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30km后到达小岛 B,此时测得灯塔P在北偏西50方向，则灯塔P与小岛B相距30km
C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA 9.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,F 是高 AD 和 BE 的交点,若 CD=4,则线段 DF 的 长度为(B). A.2 B.4 C.3 D.4√2 10.如图,一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 km 到达 B 地, 再由 B 地向北偏西 20°的方向行驶 40 km 到达 C 地,则 A,C 两地相距(B). A.30 km B.40 km C.50 km D.60 km 二、填空题 (每小题 4 分,共 24 分) 11.观察下图中各组图形,其中成轴对称的是①②④.(填序号) 12.已知点 P(a+1,2a-3)关于 x 轴的对称点在第一象限,则 a 的取值范围是-1<a<3 2 . 13. 一灯塔 P 在小岛 A 的北偏西 25°,从小岛 A 沿正北方向前进 30 km后到达小岛 B,此时测得灯塔 P 在北偏西 50°方向,则灯塔 P 与小岛 B 相距 30 km
14.如图，在Rt△ABC中，D,E为斜边AB上的两个点，且BD=BCAE=AC,则∠DCE 的度数为45° 15.如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8,点M,N在边OB上，PM=PN.若MN=2, 则OM=3 60 M NB 16.如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢 管：EF,FG,GH..且OE=EF=FG=GH=..在OA,OB足够长的情况下，最多能添 加这样的钢管的根数为& HA 三、解答题（共96分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示. (I)画出△ABC关于y轴对称的△A'BC(其中A',B',C分别是A,B,C的对应点) 答案：略 (2)直接写出A',B,C三点的坐标： A23),B31,C-1-2 18.(8分)如图，四边形ABCD是长方形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与边BC的 垂直平分线的交点Q(不写作法，保留作图痕迹).连接QD,在新图形中，你发现了什 么？请写出一条
14.如图,在 Rt△ABC 中,D,E 为斜边 AB 上的两个点,且 BD=BC,AE=AC,则∠DCE 的度数为 45°. 15.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2, 则 OM=3. 16.如图,∠AOB是一角度为10°的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢 管:EF,FG,GH……且 OE=EF=FG=GH=……在 OA,OB 足够长的情况下,最多能添 加这样的钢管的根数为 8. 三、解答题 (共 96 分,写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8 分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的位置如图所示. (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A'B'C'(其中 A',B',C'分别是 A,B,C 的对应点). 答案:略 (2)直接写出 A',B',C'三点的坐标: A'(2,3),B'(3,1),C'(-1,-2). 18.(8 分)如图,四边形 ABCD 是长方形,用直尺和圆规作出∠A 的平分线与边 BC 的 垂直平分线的交点 Q (不写作法,保留作图痕迹).连接 QD,在新图形中,你发现了什 么?请写出一条
解如图 发现：DQ=AQ.(答案不唯一) 19.(8分)一艘轮船由南向北以10kh的速度航行，如图，在A处测得小岛P在北 偏西15的方向上，2h后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上.己知在小 岛周围18k内有暗礁，若轮船继续按原方向向北航行，有无触礁的危险？ 解：如图，过点P作PC⊥AB,垂足为C 0 南 因为轮船的速度是10km/h,从A到B的时间是2h, 所以AB=10×2=20km) 因为在A处测得小岛P在北偏西15的方向上，2h后，轮船在B处测得小岛P在北 偏西30的方向上 所以∠PAB=15°，∠PBC=30°， 所以∠APB=∠PBC-∠PAC=15° 所以∠PAB=∠APB. 所以PB=AB=20km. 因为∠PBC=30
解:如图. 发现:DQ=AQ.(答案不唯一) 19.(8 分)一艘轮船由南向北以 10 km/h 的速度航行,如图,在 A 处测得小岛 P 在北 偏西 15°的方向上,2 h 后,轮船在 B 处测得小岛 P 在北偏西 30°的方向上.已知在小 岛周围 18 km 内有暗礁,若轮船继续按原方向向北航行,有无触礁的危险? 解:如图,过点 P 作 PC⊥AB,垂足为 C. 因为轮船的速度是 10 km/h,从 A 到 B 的时间是 2 h, 所以 AB=10×2=20(km). 因为在 A 处测得小岛 P 在北偏西 15°的方向上,2 h 后,轮船在 B 处测得小岛 P 在北 偏西 30°的方向上, 所以∠PAB=15°,∠PBC=30°, 所以∠APB=∠PBC-∠PAC=15°. 所以∠PAB=∠APB. 所以 PB=AB=20 km. 因为∠PBC=30°
所以PC=10km 因为10km<18km, 所以该轮船继续向北航行有触礁的危险 20.(I0分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,D是AC的中点，以AD为斜边 在△ABC外作等腰直角三角形AED,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量关 系及位置关系，并证明你的猜想 解：猜想：BE=EC,BE⊥EC 证明如下： 因为AC=2AB,D是AC的中点， 所以AB=AD=DC 因为在等腰直角三角形AED中，∠EAD=∠EDA=45°， 所以∠EAB=∠EDC=135°. 又在等腰直角三角形AED中，EA=ED, 所以△EAB≌△EDC(SAS) 所以∠AEB=∠DEC,BE=EC 所以∠BEC=∠AED=90° 所以BE⊥EC 21.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，AE分别交CB,CD于 点E,F,且CE=CF.求证：AE平分∠BAC B 证明：因为∠ACE=90° 所以∠CAE+∠CEF=90° 因为CD⊥AB 所以在△AFD中，∠ADF=90°
所以 PC=10 km. 因为 10 km<18 km, 所以该轮船继续向北航行有触礁的危险. 20.(10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,D 是 AC 的中点,以 AD 为斜边 在△ABC 外作等腰直角三角形 AED,连接 BE,EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量关 系及位置关系,并证明你的猜想. 解:猜想:BE=EC,BE⊥EC. 证明如下: 因为 AC=2AB,D 是 AC 的中点, 所以 AB=AD=DC. 因为在等腰直角三角形 AED 中,∠EAD=∠EDA=45°, 所以∠EAB=∠EDC=135°. 又在等腰直角三角形 AED 中,EA=ED, 所以△EAB≌△EDC(SAS). 所以∠AEB=∠DEC,BE=EC. 所以∠BEC=∠AED=90°. 所以 BE⊥EC. 21.(10 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是边 AB 上的高,AE 分别交 CB,CD 于 点 E,F,且 CE=CF.求证:AE 平分∠BAC. 证明:因为∠ACE=90°, 所以∠CAE+∠CEF=90°. 因为 CD⊥AB, 所以在△AFD 中,∠ADF=90°
即∠FAD+∠AFD=90° 因为在等腰△CFE中，CF=CE, 所以∠CFE=∠CEF 因为∠CFE=∠AFD, 所以∠CEF=∠AFD 由上述分析可知：∠CAE+∠CEF=∠FAD+∠AFD=90°，∠CEF=∠AFD, 所以∠CAE=∠FAD, 即AE平分∠BAC 22.(12分)如图，公路PA,PB在P地交汇，三个村子MN,C分别位于两公路边上，且 PC=PM现要在∠APB的区域内建一个加油站Q和一个物流中心T,请你根据下列 要求确定这两处的位置要求尺规作图（保留作图痕迹），并在图中标注明确 (1)加油站Q到两公路的距离相等，且使QM+QN最小. (2)物流中心T到两公路的距离相等，且到C,N两村的距离相等 —B 答案：（略）[提示：(I)∠APB的平分线与CN的交点，(2)∠APB的平分线与CN的垂直 平分线的交点] 23.(I2分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，连接AD,BE平分∠ABC交 AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB=FE. (I)解：因为AB=AC, 所以∠C=∠ABC 因为∠C=36°， 所以∠ABC=36
即∠FAD+∠AFD=90°. 因为在等腰△CFE 中,CF=CE, 所以∠CFE=∠CEF. 因为∠CFE=∠AFD, 所以∠CEF=∠AFD. 由上述分析可知:∠CAE+∠CEF=∠FAD+∠AFD=90°,∠CEF=∠AFD, 所以∠CAE=∠FAD, 即 AE 平分∠BAC. 22.(12 分)如图,公路 PA,PB 在 P 地交汇,三个村子 M,N,C 分别位于两公路边上,且 PC=PM,现要在∠APB的区域内建一个加油站Q和一个物流中心T,请你根据下列 要求确定这两处的位置.要求尺规作图 (保留作图痕迹),并在图中标注明确. (1)加油站 Q 到两公路的距离相等,且使 QM+QN 最小. (2)物流中心 T 到两公路的距离相等,且到 C,N 两村的距离相等. 答案:(略)[提示:(1)∠APB 的平分线与 CN 的交点;(2)∠APB 的平分线与 CN 的垂直 平分线的交点.] 23.(12 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边的中点,连接 AD,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F. (1)若∠C=36°,求∠BAD 的度数; (2)求证:FB=FE. (1)解:因为 AB=AC, 所以∠C=∠ABC. 因为∠C=36°, 所以∠ABC=36°
因为BD=CD,AB=AC, 所以AD⊥BC 所以∠ADB=90 所以∠BAD=90°-36°=54°. (2)证明：因为BE平分∠ABC, 所以∠ABE=∠CBE. 因为EF∥BC, 所以∠FEB=∠CBE 所以∠FBE=∠FEB. 所以FB=FE. 24.(14分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，分别以AB,AC为边作等腰直角三 角形ABD和等腰直角三角形ACE,使∠BAD=∠CAE=90° (I)求∠DBC的度数： (2)求证：BD=CE. (I)解：因为△ABD为等腰直角三角形， 所以∠DBA=45° 因为AB=AC,∠BAC=40°， 所以∠ABC=70°， 所以∠DBC=115° (2)证明：因为△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， 所以∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE, 因为AB=AC 所以AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以BD=CE. 25.(14分)已知AC平分∠MAN
因为 BD=CD,AB=AC, 所以 AD⊥BC. 所以∠ADB=90°. 所以∠BAD=90°-36°=54°. (2)证明:因为 BE 平分∠ABC, 所以∠ABE=∠CBE. 因为 EF∥BC, 所以∠FEB=∠CBE. 所以∠FBE=∠FEB. 所以 FB=FE. 24.(14 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=40°,分别以 AB,AC 为边作等腰直角三 角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE,使∠BAD=∠CAE=90°. (1)求∠DBC 的度数; (2)求证:BD=CE. (1)解:因为△ABD 为等腰直角三角形, 所以∠DBA=45°, 因为 AB=AC,∠BAC=40°, 所以∠ABC=70°, 所以∠DBC=115°. (2)证明:因为△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形, 所以∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE. 因为 AB=AC, 所以 AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以 BD=CE. 25.(14 分)已知 AC 平分∠MAN
(I)在图①中，∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC. (2)在图②中，∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若 成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 图① 图② (1)证明：因为∠MAN=120°， AC平分∠MAN, 所以∠CAD=∠CAB=60 因为∠ABC=∠ADC=90°， 所以AD=AC,AB=AC 所以AB+AD=AC (2)解：结论仍成立 证明如下：如图所示，作CE⊥AM于点E,CF⊥AN于点F, 则∠CED=∠CFB=90° FB A 因为AC平分∠MAN, 所以CE=CF 因为∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°， 所以∠CDE=∠ABC 在△CDE和△CBF中， (LCDE=∠CBF, ∠CED=∠CFB, CE CF, 所以△CDE≌△CBF(AAS). 所以DE=BF 因为∠MAW=120°，AC平分∠MAN
(1)在图①中,∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC. (2)在图②中,∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若 成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 图 ① 图 ② (1)证明:因为∠MAN=120°, AC 平分∠MAN, 所以∠CAD=∠CAB=60°. 因为∠ABC=∠ADC=90°, 所以 AD=1 2 AC,AB=1 2 AC. 所以 AB+AD=AC. (2)解:结论仍成立. 证明如下:如图所示,作 CE⊥AM 于点 E,CF⊥AN 于点 F, 则∠CED=∠CFB=90°. 因为 AC 平分∠MAN, 所以 CE=CF. 因为∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°, 所以∠CDE=∠ABC, 在△CDE 和△CBF 中, { ∠𝐶𝐷𝐸 = ∠𝐶𝐵𝐹, ∠𝐶𝐸𝐷 = ∠𝐶𝐹𝐵, 𝐶𝐸 = 𝐶𝐹, 所以△CDE≌△CBF (AAS). 所以 DE=BF. 因为∠MAN=120°,AC 平分∠MAN
所以∠MAC=∠NAC=60° 所以∠ECA=∠FCA=30° 在Rt△ACE与Rt△ACF中，AE=2AC,AF-AC, 所以AD+AB=AD+AF+BF =AD+AF+DE =AE+AF -C+C =AC. 所以AB+AD=AC仍成立
所以∠MAC=∠NAC=60°. 所以∠ECA=∠FCA=30°. 在 Rt△ACE 与 Rt△ACF 中,AE=1 2 AC,AF=1 2 AC, 所以 AD+AB=AD+AF+BF =AD+AF+DE =AE+AF = 1 2 AC+1 2 AC =AC. 所以 AB+AD=AC 仍成立