目录 第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段…1 第1课时三角形的边…1 第2课时三角形的高、中线与角平分线及三角形的稳定性…4 11.2与三角形有关的角…7 第1课时三角形的内角 ……7 第2课时三角形的外角……9 11.3多边形及其内角和……………………………………………… 11 章末小结 14 第十一章检测… 17 第十二章全等三角形 12.1全等三角形……21 12.2三角形全等的判定…… 23 第1课时三角形全等的判定（一）(SSS)… 23 第2课时三角形全等的判定（二）(SAS)…26 第3课时三角形全等的判定（三）(ASA,AAS)… 28 第4课时直角三角形全等的判定(HL)… 31 12.3角的平分线的性质…33 章末小结…37 第十二章检测… 40 第十三章轴对称 13.1轴对称…… 46 第】课时轴对称… 46 第2课时线段的垂直平分线的性质…… 49 13.2画轴对称图形… 52 13.3等腰三角形…55 第1课时等腰三角形的性质…55 第2课时等腰三角形的判定… 57 第3课时等边三角形……60 第4课时含30°角的直角三角形的性质…63 13.4课题学习最短路径问题……66 章末小结…69 第十三章检测… …73 1
目录 第十四章整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法…79 第1课时 同底数幂的乘法…79 第2课时篆的乘方……………81 第3课时积的乘方…………83 第4课时单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘 …………85 第5课时多项式与多项式相乘……88 第6课时同底数幂的除法、零指数幂… 90 第7课时整式的除法……92 14.2乘法公式…94 第1课时平方差公式……………………………………… 94 第2课时完全平方公式……96 14.3因式分解…99 第1课时提公因式法…99 第2课时公式法… 101 章末小结 105 第十四章检测…………107 第十五章分式 15.1分式…110 第1课时从分数到分式… 110 第2课时分式的基本性质………113 15.2分式的运算…… 116 第】课时分式的乘除… 116 第2课时分式的乘方 ……………………………… 118 第3课时分式的加减…………………… 120 第4课时分式的混合运算… 123 第5课时整数指数幂… 125 15.3分式方程…………………………………………… 127 第1课时分式方程的解法… 127 第2课时分式方程的应用 131 章末小结………134 第十五章检测… 138 期末检测………………… 143 2
第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 第1课时三角形的边 【学习目标】 1.结合具体实例，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示 三角形 2.通过回顾三角形按内角的大小分类的方式，探索按边的相等关系为三角形分类， 3.经历测量三角形边长的实践活动，理解三角形的三边关系，能够利用三角形的三边关系 解决相关计算和推理问题. 基础·导学诱思 1.由不在同一条直线上的三条线段首 3.按照三个内角的大小，可以将三角 尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角 2.如图，线段AB,BC,CA是三角形 形 的边.点A,B,C是三角形的顶点.∠A, 4.三角形按边的相等关系分类如下： ∠B,∠C是相邻两边组成的角，叫做三角 三边都不相等的三角形 形的内角，简称三角形的角.△ABC的三 底边和腰不相等的 三角形 边，有时也用a,b,c来表示.顶点A所对 等腰三角形 等腰三角形 的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用 等边三角形 b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 5.三角形两边的和大于第三边，三角 形两边的差小于第三边. 1
家庭作业·数学·八年级·上册·配人教版 核心·思维激活 激活①三角形的有关概念 激活2三角形的分类 【例1】如图， 【例2】根据下列条件，判断△ABC的 (1)图中共有多少个三角 形状. 形？请把它们写出来. 按角分类： (2)图中线段AE是哪些三BDE (1)∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°. 角形的边？ (2)∠C=120°. (3)∠B是哪些三角形的角？ 按边分类： 解析：(1)按照一定的顺序或规律去数 (3)AB=BC=AC=6. 三角形的个数可以做到不重不漏；(2)寻找 (4)AB=BC=4,AC=5. 以点A,E为两个顶，点的三角形即可； 解析：根据三角形按角或边的分类标准 (3)寻找以点B为一个顶点的三角形即可 分别判断即可. 解：(1)图中共有6个三角形，分别是 解：(1)因为∠A=45°，∠B=65°， △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC, ∠C=70°，所以∠A90°，所以△ABC △AEC的边. 是钝角三角形 (3)∠B是△ABD,△ABE和△ABC (3)因为三条边相等，所以△ABC是 的角。 等边三角形 点找 (4)因为AB=BC=4,AC=5,所以 数三角形的个数的方法： △ABC是等腰三角形 (1)按图形形成的先后顺序. 点拨 (2)按大小顺序， (3)可从图中的某一条线段开始沿 判断三角形形状的方法：先确定其 着一定方向数. 分类标准，是按角分类还是按边分类， (4)固定一个顶点，变换另两个顶 若按角分类，则再看这个三角形的最大 角是哪一类角；若按边分类，则再看边 点数. 另外，一定要注意按顺序数，避免 是否相等 重复或遗漏. 激活③三角形的三边关系 【例3】下列长度的小木棒，能组成三角 形的一组是(). 2
第十一章三角形 A.2 cm,3 cm,5 cm 答案：D B.7 cm,4 cm,2 cm 点拨 C.3 cm,4 cm,8 cm 判断三条线段能否组成三角形时， D.3 cm,3 cm,4 cm 只要三条线段中较短的两条线段之和大 解析：A项，2十3=5，不符合三角形 于第三条线段，就能组成三角形，否则 三边关系；B项，2十44，符合三角形三 边关系.故选D 素能·达标训练 0基础巩固 自然数，且周长是18，则这个三角形的 1.下列长度的线段，能组成三角形的一组 三边长分别为5,6,7 是(D). 0能力提升 A.3,4,8 B.5,6,11 6.如果以4cm长的线段为底组成一个等腰 C.1,2,3 D.5,6,10 三角形，那么腰长x的取值范围是 2.如图，三角形的个数为(C). (B). A.>4 cm B.x>>2 cm C.x≥4cm D.x≥2cm 7.已知等腰三角形的周长为16. (1)若其中一条边的长为4，求另外两条 A.4 B.6 C.8 D.10 边的长 3.若等腰三角形两条边长分别为3和7，则 答案：6,6 它的周长为(B) (2)若其中一条边的长为6，求另外两条 A.13 B.17 边的长 C.13或17 D.不能确定 答案：5,5或6,4 4.有长分别为11,8,6,4的4根木条，选 (3)若三条边的长都是整数，求三角形 其中3根组成三角形，有3种选法，分别 各条边的长。 是11,8,6；8,6,4；11,8,4. 答案：6,6,4或5,5,6或7,7,2 5.已知一个三角形三边的长是3个连续的 3
家庭作业·数学·八年级·上册·配人教版 第2课时三角形的高、中线与角平分线及三角形的稳定性 【学习目标】 1.通过观察、画图、折纸等实践操作，想象、推理、交流等过程，认识三角形的高、中线、 角平分线 2.通过画图了解三角形的三条高所在的直线、三条中线、三条角平分线都能够分别交于一 点，并会对三角形的高、中线、角平分线进行简单的应用 3.通过观察和实践操作了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，并会进行简单的应用. 基础·导学透思 1.从△ABC的顶点A向它所对的边 的重心. BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段 4.画∠A的平分线AD,交∠A所对的 AD叫做△ABC的边BC上的高. 边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC 2.连接△ABC的顶点A和它所对的边 的角平分线 BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的 5.三角形是具有稳定性的图形，而四 边BC上的中线. 边形没有稳定性， 3.三角形三条中线的交点叫做三角形 核心·思维激活 激活①三角形的高 解析：由题意知，点A是△ABC的顶 【例1】下列图形中，AD是△ABC的 点，点A的对边是BC,由三角形的高的定义 高的是(). 可知，若AD是△ABC的高，则AD⊥BC.由 图可知，只有D项中AD⊥BC,故选D. D 答案：D 点拨 判断一条线段为三角形的高的条 件：一方面要满足线段的一个端点是三 角形的顶点，另一个端点在对边（或对 边延长线)上；另一方面要满足线段垂 直于对边所在的直线
第十一章三角形 激活②三角形的中线 解析：因为BD是∠ABC的平分线， 【例2】如图所示，学校有一块三角形空 1 所以∠DBC=2∠ABC, 地（即△ABC),现准备将它分成面积相等 的两块地，栽种不同的花草，请描述你的 又∠ABC=80°， 分法. 所以∠DBC=2×80°=409： 答案：40 点拨 解析：根据三角形中线的定义，作 三角形的角平分线将三角形的内角 △ABC的中线，即可把△ABC分成面积相 分成相等的两个角， 等的两部分， 解：分法不唯一.作△ABC的中线即 激活④三角形的稳定性 可，分法如下图所示，其中D为各边上的 【例4】下列图形中，具有稳定性的是 中点， . A B C D 解析：三角形具有稳定性，而四边形不 点拨 具有稳定性 三角形的中线可将三角形分成面积 答案：C 相等的两部分 点拨 对于比较复杂的图形，只要整个图 激活3三角形的角平分线 形可以看成全部是由三角形构成的，这 【例3】如图，在△ABC 4 个图形就具有稳定性. 中，BD是∠ABC的平分线 已知∠ABC=80°，则∠DBC 的度数为 素能：达标训练 。基础巩固 角形内部交于一点 1.下列说法错误的是(A). B.三角形的三条中线一定在三角形内部 A.三角形的三条高所在的直线一定在三 交于一点 5
家庭作业·数学·八年级·上册·配人教版 C.三角形的三条角平分线一定在三角形 内部交于一点 D.三角形的三条高所在的直线可能在三 角形外部交于一点 2.如图，已知D,E分别是△ABC的边 A.两点之间线段最短 AC,BC的中点，则下列说法错误的是 B.矩形的对称性 (D). C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 6.如图，已知AD,AE分别是△ABC的 高和中线，AB=6cm,AC=8cm, BC=10cm,∠CAB=90°.求： A.DE是△BCD的中线 (1)AD的长， B.BD是△ABC的中线 (2)△ABE的面积， C.AD=DC,BE=EC (3)△ACE和△ABE的周长的差. D.∠A的对边是DE 3.如图，在△ABC中，AC边上的高是 (D). D 解：I)因为S△=2AB·AC= 2 B A.线段DA 6X8=24(em),所以SaAe=号AD· B.线段BA BC-2ADX10=24(cm),所以AD= C.线段BC D.线段BD 4.8cm. 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平 (2)SE-BE·AD=·（BC): 分∠BAC,若∠1=30°，∠2=20°，则 ∠B=50°. AD=BC·AD=12(cm). (3)将△ACE和△ABE的周长分别记为 C△ACE和C△ABE,则C△ACE一C△AHE AC+CE+AE-(AB+BE+AE)= ED C AC-AB=8-6=2(cm). 。能力提升 7.如图，在△ABC中(AB>BC),AB= 5.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 2AC,边AC上的中线BD把△ABC的 固定矩形门框ABCD,使其不变形，这 周长分成30和20两部分，求AB和BC 种做法的依据是(D). 的长 6
第十一章三角形山山 解：设AD=DC=x,则AB=4x,因为 AB>BC,所以AB+AD=30,即4x+ x=30,解得x=6.所以AB=6×4=24, AC=6×2=12,所以BC=20-6=14. 一11.2与三角形有关的角 第1课时三角形的内角 【学习目标】 1.通过测量、剪拼、猜想、推理等数学活动，探索出三角形的内角和定理，并会证明. 2.能够对三角形内角和定理进行简单的应用. 3.利用三角形内角和定理推导出直角三角形的性质，并会进行简单的应用. 4.经过思考、探索、推理，得到有两个角互余的三角形是直角三角形，并能用其判定直角 三角形 基础·导学诱思」 1.三角形三个内角的和等于180°. 角形. 2.直角三角形的两个锐角互余 4.直角三角形可以用符号“R△”表 3.有两个角互余的三角形是直角三示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 核心·思维激活 激活①三角形内角和定理 解：设∠A=x, 【例1】在△ABC中，∠B=3∠A, 则∠B=3x,∠C=5x. ∠C=5∠A.求∠A,∠B,∠C的度数. 根据三角形内角和定理，得： 解析：由∠B,∠C与∠A之间的数量 x+3x+5.x=180°. 关系，首先用∠A分别表示∠B,∠C,然 解得x=20°. 后根据三角形内角和定理列出方程即可求出 所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°. ∠A,∠B,∠C的度数. 7
家庭作业·数学·八年级·上册·配人教版 点拨 证明：因为AB∥CD, 所以∠BEF+∠DFE=180. 根据三角形内角和定理建立方程模 因为EP为∠BEF的平分线，FP为 型，是用代数知识解决几何问题常用的 方法，这里隐含的相等关系是“三角形 ∠DFE的平分线， 三个内角的和等于180”. 所以∠PEF=3∠BEF,∠PFE ∠DFE, 1 激活②直角三角形的性质与判定 【例2】如图，AB∥CD,直线EF分别 所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF十 交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线 与∠DFE的平分线相交于点P. ∠DFE)=2×180=90, 求证：△EPF为直角三角形. 所以△EPF为直角三角形. 点拨 三角形中若有两个角互余，即它们 解析：先根据平行线的性质，可得 的和为90°，则另一个角一定为90°，是 直角，从而可确定这个三角形为直角三 ∠BEF+∠DFE=180°，再根据角平分线的 角形 性质及“有两个角互余的三角形是直角三角 形”可证得结论 素能·达标训练 。基础巩固 3.在△ABC中，已知∠A=20°，∠B= 1.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这 ∠C,则△ABC是(A). 个三角形是(B). A.锐角三角形 B.直角三角形 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 4.具备下列条件的△ABC,不是直角三角 2.一块三角形木板的残余部分如图，若测 形的是(D). 得∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形 A.∠A+∠B=∠C 木板另外一个角的度数是(C). B∠B=∠C=3∠A C.∠A=90°-∠B D.∠A-∠B=90° A.609 B.20 5.如图，在△ABC中，已知∠BAC=60°， C.40° D.30° ∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，则 8