目录 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形： 第】课时全等三角形与等腰三角形的性质 …1 第2课时 等腰三角形的其他性质与等边三角形的性质…4 第3课时 等腰三角形的判定与反证法… 6 第4课时等边三角形的判定 8 2直角三角形 ，g。e。。EE EEE。g。。TEE。tge。ge,。g。et。。g。。g。。gg。 11 第1课时直角三角形的性质与判定… 2 第2课时直角三角形全等的判定………… 14 3线段的垂直平分线… 16 第1课时线段的垂直平分线的定理… 16 第2课时 三角形三边的垂直平分线… 19 4角平分线………………… 23 第1课时角平分线的定理… … 23 第2课时三角形的三条角平分线… 25 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 1 不等关系… 28 2 不等式的基本性质… 3不等式的解集… 33 4一元一次不等式 35 第1课时一元一次不等式的解法… 35 第2课时 一元一次不等式的应用… 5一元一次不等式与一次函数… 39 第1课时一元一次不等式与一次函数的关系… 39 第2课时 一元一次不等式与一次函数的实际应用· 41 6一元一次不等式组… 44 第1课时一元一次不等式组的解法(1)… 44 第2课时 一元一次不等式组的解法(2) 46 微专题一 一元一次不等式（组）的解法及应用… … 48 第三章图形的平移与旋转 1图形的平移 49 第1课时图形的平移… 49 第2课时平面直角坐标系中的平移… 52 2图形的旋转………………+……………… 54 第1课时 流转的概念与性质… 54 第2课时 旋转作图……………… 56 3中心对称 59 4简单的图案设计… 62 第四章 因式分解 1因式分解……64 1
目录 2提公因式法 66 第1课时公因式为单项式的因式分解… 第2深时公因式为多项式的因式分解…… 68 3公式法 70 第1课时利用平方差公式因式分解… 70 第2课时 利用完全平方公式因式分解…72 第五章分式与分式方程 1认识分式 …74 第1课时分式的概念… 74 第2误时分式的基本性质与化简… 76 2分式的乘除法 … 79 3分式的加减法 82 第1课时同分母分式的加减… 第2课时 异分母分式的加减… 84 第3课时 分式的加减运算与求值… 86 4分式方程… 88 第1课时分式方程的概念…………………… 88 第2课时 分式方程的解法… … 91 第3课时分式方程的应用… 93 微专题二 分式的化简与求值… 96 第六章 平行四边形 1平行四边形的性质…97 第1课时平行四边形的边和角的性质… 97 第2课时平行四边形的对角线的性质…… 99 2平行四边形的判定… 102 第1课时利用边判定平行四边形… 102 第2课时利用对角线判定平行四边形… 104 第3课时平行四边形的判定与性质的应用 106 3三角形的中位线… 108 4多边形的内角和与外角和… 110 第1课时多边形的内角和 110 第2课时多边形的外角和 112 微专题三利用平行四边形的判定与性质解决问题 114 检 测 第一章检测 …115 第四章检测 ……131 第二章检测 119 第五章检测 135 第三章检测 123 第六章检测 139 期中检测 127 期末检测 …143 2
第一章三角形的证明 等腰三角形 第1课时 全等三角形与等腰三角形的性质 基础·自主梳理 1.三角形全等的判定与性质 ∠E,∠B=∠M,AC=EN,∠N=50°，AB= (1)定理两角分别相等且其中一组等 3cm,则∠C=50°，EM=3cm 角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) 3.等腰三角形的性质定理与推论 (2)全等三角形的对应边相等、对应角 定理等腰三角形的两底角相等，简述 相等 为：等边对等角。 温馨提示 推论等腰三角形顶角的平分线、底边 结合三角形内角和定理可知，“AAS” 上的中线及底边上的高线互相重合 可由“ASA”推导得出，因此可把“AAS”看 4.已知等腰三角形两边的长分别为3和 作是“ASA”的推论，将两者结合起来可得 7,则此等腰三角形的周长为(B). 出：如果两个三角形具备两角一边对应相 A.13 B.17 等，那么它们全等.全等三角形的判定与 C.13或17 D.13或10 性质是几何中证明线段相等或角相等的 5.如图，AB∥CD,点ED 重要依据之一， 在线段BC上，CD=CE,若 ∠ABC=30°，则∠D的度数 2.在△ABC和△EMN中，已知∠A= 为(B) A.85 B.75 C.65° D.30 核心·重难探究 知识点等腰三角形的性质定理及推论 的应用 【例题】如图，点D,E在△ABC的边BC 上，AB=AC,AD=AE. 1
儿家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 求证：BD=CE 得到结论BD=CE.) 思路点拨(1)若作等腰三角形ABC底 【名师点津】 边上的高AF,则它是等腰三角形ADE底边 1.在求等腰三角形的角的度数时，常常 上的高吗？AF是等腰三角形ABC与等腰三 利用等边对等角、三角形的外角性质以及三 角形ADE的中线吗？ 角形的内角和定理进行计算或构建方程求 (2)你还能用全等三角形的知识解决该 解.在没有指出所给的角为顶角或底角时，要 问题吗？图中有哪些全等三角形？ 分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角 证明过点A作AF⊥BC, 和定理，避免漏解或多解. 垂足为点F,则AF⊥DE .'AB=AC,AD=AE, 2.等腰三角形的“三线合一”是它的重要 性质，不仅能够证明相关的线段或角相等，还 .'.BF=CF,DF=EF. 可以证明有关线段之间的关系，并且利用等 .BF-DF=CF-EF,即 腰三角形的性质解题，往往要比利用三角形 BD-CE. 全等简捷 (注：该例也可通过证明△ABD≌△ACE 新知·训练巩固 1.下列条件中，能够判断两个三角形全等的 4.如图，在△ABC中，AD⊥ 是(C). BC,CE⊥AB,垂足分别为 A.一边和这边上的高对应相等 D,E,AD,CE交于点H.已 B.一边和这边上的中线对应相等 知EH=EB=3,AE=4,则 B C.两角及第三个角的平分线对应相等 CH的长是(D). D.两边及其中一边的对角对应相等 A.4 B.3 2.(2022·四川自贡中考)等腰三角形顶角度 C.2 D.1 数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底 5.如图，在△ABC中，点D 角的度数是(B). 是边BC上的一点，若 A.30 B.40 AB=AD=DC,∠BAD= C.509 D.60° 44°，则∠C的大小为34°， 3.如图，AD是等腰三角形 6.(2022·四川广安中考)若(a-3)2十√b-5 ABC的顶角平分线，BD= 0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 5,则CD等于(B). 11或13. A.10 B.5 C.4 D.3 2
第一章三角形的证明、 素能·演练提升 1.如图，已知∠ABC= ∠DCB,添加以下条 件，不能判定△ABC≌ B △DCB的是(C. A.16° B.28°C.44° D.45 A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC 6.如图，在Rt△ABC中， C.AC=DB D.AB=DC ∠C=90°，AF=EF.若 2.(2022·湖北荆州中考)如图，直线1∥2， ∠CFE=72°，则∠B= AB=AC,∠BAC=40°，则∠1+∠2的度 54° 数是(B). 7.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为 A.60°B.70 C.80 D.90 半径画弧，交BC边于点D,连接AD.若 ∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为 34. 4 .4 G C (第2题图) (第3题图) (第7题图) (第8题图) 3.小明在AB=AC的等腰三角形中，以点B 8.如图，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且 为圆心，BC长为半径画弧交AC于点D,得 BC=CD.请按照图中所标注的数据，计算 到如图所示的图形，则下列结论一定正确 图中实线所围成的图形的面积S=50. 9.如图，在△ABC中，AB= 的是(D. AC,AD⊥BC于点D. A.AD-CD B.AD-BD (1)若∠C=42°，求∠BAD C.∠ABD=∠CBDD.∠BAD=∠CBD 的度数： 4.如图，AB⊥CD,且AB (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的 CD,E,F是AD上两点， 延长线于点F.求证：AE=FE CE⊥AD,BF⊥AD.若 (1)解，AB=AC,AD⊥BC CE=a,BF=b,EF=c,则 ∴.∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°， AD的长为(D). 又∠C=42°，∴.∠BAD=∠CAD=90° A.a+c B.b+c 42°=48° C.a-b+c D.a+b-c (2)证明.AB=AC,AD⊥BC, 5.在螳螂的示意图中，AB∥DE,△ABC是等 ·∠BAD=∠CAD. .EF∥AC,∴.∠F=∠CAD, 腰三角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°，则 ∴.∠BAD=∠F,.AE=FE. ∠ACD=(C). 3
儿家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 第2课时 等腰三角形的其他性质与等边三角形的性质 基础·自主梳理 1.等腰三角形的其他性质 温馨提示 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰 等边三角形是一种特殊的等腰三角 上的中线相等，两腰上的高相等， 形，它具有等腰三角形的一切性质，等边 知识拓展 三角形也是轴对称图形，有3条对称轴. 由面积法容易得到如下结论：等腰三 3.(2022·海南中 角形底边上任意一点到两腰的距离和等 考)如图，直线m∥n, 于一腰上的高， △ABC是等边三角形， 2.等边三角形的性质 顶点B在直线n上，直线 等边三角形的三个内角都相等，并且每 m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°， 个角都等于60°， 则∠2的度数是(B). A.80° B.100°C.120°D.140 核心·重难探究 知识点等边三角形的性质 即∠BCE=∠ACD. 【例题】如图， 在△ACD和△BCE中， △ABC,△CDE均为等边 .AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, 三角形，连接AD,BE交 ∴.△ACD≌△BCE.∴.∠CAD=∠CBE. 于点O,AC与BE交于点 .∠APO=∠BPC, P.求证：∠AOB=60° ∴.∠AOP=∠BCP=60°，即∠AOB=60°. 思路点拨(1)△ACD与△BCE有何关 【方法归纳】 系？∠CAD与∠CBE是否相等？ 正确地利用等边三角形中隐含的条件证 (2)∠AOB与∠ACB有何大小关系？为 明全等是解决本题的关键.若当条件中已知 什么？ 边求角的度数时，要考虑应用“等边对等角” 证明，'△ABC和△ECD都是等边三角 将边相等转化为角相等；当出现等边三角形 形，.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE= 求角的度数时，要想到应用“等边三角形的每 60°. 个内角都等于60”. .∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, 4
第一章三角形的证明、 新知·训练巩固 1.下列说法不正确的是(C). 3.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC A.等腰三角形两腰上的中线相等 的中点，则∠BAD=30°， B.等腰三角形两底角的平分线相等 4.如图，在等边三角形ABC C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相 中，点D为BC延长线上一 重合 点，点E为CA延长线上一 D.等边三角形同一条边上的高、中线互相 点，且AE=DC.求证： 重合 AD=BE. 2.如图，在△PAB中，PA=PB,M,N,K分 证明在等边三角形ABC中， 别是边PA,PB,AB上的点，且AM=BK, ∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC BN=AK.若∠MKN=44°，则∠P的度数 .∠BAE=∠ACD=120°. 为(D). 又AE=DC, A.44°B.66°C.88°D.92 ∴.△ABE≌△CAD. ∴.AD=BE. (第2题图) (第3题图) 素能·演练提升 1.如图，已知D为△ABC的边AB的中点， 2.如图，等边三角形ABC的边长为2，过点B 点E在边AC上，将△ABC沿着DE折叠， 的直线L⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于 使点A落在边BC上的点F处.若∠B= 直线1对称，D为线段BC'上一动点，则 65°，则∠BDF等于(C). AD+CD的最小值为(A). A.30° B.40° A.4 B.3√2 C.50° D.60 C.2√5 D.2+3 3.如图，在△ABC中，AB= AC=2,P是BC上任意 A 一点，PE⊥AB于点E, PF⊥AC于点F,若S△ABC=1,则PE十 (第1题图) (第2题图) 5
1家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 PF=1. 证明地下：，△ABC是等边三角形， 4.如图，在等边三角形ABC AD1BC,∠DAC-2X60°=30. 中，AD⊥BC于点D,以 AD为一边向右作等边三 ,△ADE是等边三角形， 角形ADE,判断AC,DE ∴.∠ADE=60°. 的位置关系，并给出证明. .∠AFD=180°-30°-60°=90°， 解AC⊥DE. 即AC⊥DE. 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 基础·自主梳理 1.有两个角相等的三角形是等腰三角 1:1:1;④内角比为1：2：3.其中是等腰三 形.这一定理可以简述为：等角对等边 角形的有①②③.（填序号） 2.如图，在Rt△ABC 4.反证法 中，∠ACB=90°，CA=CB, 在证明时，先假设命题的结论不成立，然 AB=2,过点C作CD⊥AB, A 后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 垂足为D,则CD的长为(C). 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一 A子 B司 C.1 D.2 定成立.这种证明方法称为反证法 5.用反证法证明“一个三角形中不能有 3.满足下列条件的三角形：①内角比为 两个角是钝角”，我们可先假设这个三角形中 1：2:1:②内角比为2：2：5；③内角比为 有两个角是纯角，与之相矛盾的定理是三角 形内角和定理。 核心·重难探究 知识点等腰三角形的判定 两个三角形中？这两个三角形全等吗？ 【例题】如图，在△ABC (2)∠ABC与∠ACB分别在哪两个三角 中，点D,E分别在边AC,AB 形中？它们相等吗？ 上，BD=CE,∠DBC=∠ECB. 证明，BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC= 求证：AB=AC. CB,∴.△BCE≌△CBD. 思路点拨(1)条件“BD=CE”与 ∴.∠ABC=∠ACB. “∠DBC=∠ECB”中涉及的边、角分别在哪 .'.AB=AC. 6
第一章三角形的证明、 【方法归纳】 (1)“角平分线十平行线”构造等腰三角 形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应 1.等腰三角形的判定方法“等角对等边” 用“等角对等边”得到边相等， 是证明两条线段相等的重要方式之一，当所 (2)“角平分线十垂线”构造等腰三角形， 要证明相等的两条线段（或与之相等的相关 逆用等腰三角形的“三线合一”的性质， 线段)在同一个三角形中，即可考虑运用该判 (3)利用“三角形中角的2倍关系”构造 定方法进行证明， 等腰三角形 2.构造等腰三角形的“三个方法”： 新知·训练巩固 1.如图，在△ABC中，AB=AC, 3.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一 ∠C=72°，BC=√5，以点B为 个内角大于或等于60”时，可先假设“三角 圆心，BC为半径画弧，交AC 形的三个内角都小于60”，然后可证明与 于点D,则线段AD的长为 “三角形内角和定理”相矛盾，从而可知原 (C). 命题为真命题， 4.如图，AC和BD相交于 D A.2√2B.2√3C.√5 D.√6 2.由8个全等的小长方形组成 点O,且AB∥DC,OA= 的大正方形如图所示，线段 OB AB的端点都在小长方形的 求证：OC=OD. 顶点上，如果点P是某个小 证明，OA=OB, 长方形的顶点，连接PA,PB,那么使 ∴.∠A=∠B. △ABP为等腰直角三角形的点P的个数 .AB∥DC, 是(B). ∴∠A=∠C,∠B=∠D A.2B.3 C.4 D.5 .∠C=∠D. ∴.O℃=OD. 素能·演练提升 1.四张形状不同的纸片如图所示，用剪刀沿 一条直线将它们分别剪开（只允许剪一 次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是 4670加 4670°30B A B (B). 7
儿家庭作业·数学·八年级·下册·配北师大版 4.用反证法证明：在一个三角形中，如果两个 27.59 209 △70° 人70° 角不相等，那么它们所对的边也不相等。 证明假设在一个三角形中，这两个角所对 2.在Rt△ABC中，∠ACB= 的边相等，那么根据等边对等角，它们所对 的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，所 90°，CD⊥AB于点D,CE A 以假设不成立.因此，在一个三角形中，她 平分∠ACD交AB于点 果两个角不相等，那么它们所对的边也不 E,则下列结论一定成立的是(C) 相等. A.BC=EC B.EC=BE 5.如图，∠BAC= C.BC=BE D.AE=EC ∠ABD,AC=BD, 3.如图，在△ABC中，D为 点O是AD,BC的交点，点E是AB的中 AB上一点，E为BC上 点.试判断OE和AB的位置关系，并给 一点，且AC=CD=BD= 出证明. 解OE⊥AB.证明地下： BE,∠A=50°，则∠CDE的度数为(D). 在△BAC和△ABD中， A.50°B.51° C.51.5°D.52.5° ,AC=BD,∠BAC=∠ABD,AB= BA,∴.△BAC≌△ABD(SAS). ·∠OBA=∠OAB..OA=OB. 又.AE=BE,∴.OE⊥AB. 第4课时等边三角形的判定 基础·自主梳理 1.等边三角形的判定 2.如果一个三角形是轴对称图形，且有 定理三个角都相等的三角形是等边三 一个角等于60°，那么这个三角形是等边三 角形. 角形. 定理有一个角等于60°的等腰三角形是 3.含30°角的直角三角形的性质 等边三角形 定理在直角三角形中，如果一个锐角 温馨提示 等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 1.等腰三角形中的60°角既可以是顶 一 角，也可以是底角 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 2.等边三角形包括定义在内共有三 ∠A=30°，CD⊥AB于点D,AB=4cm,则 种判定方法，在实际应用时要根据具体的 BC=2cm,BD-1cm. 已知条件选择合适的判定方法. 8