13.3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 素能·达标切③ 0基础巩固 1.下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是(B)】 A.两边之和大于第三边 B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C.有两个锐角的和等于90° D.内角和等于180° 2.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是(C) A.55°，55 B.70°，40° C.55°，55°或70°，40° D以上都不正确 3.如图，已知AD,BE分别是△ABC的中线和高，且AB=AC,∠EBC=20°，则∠CAD的 度数为B) A.18° B.20 C.22.5° D.25° 4.在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角的度数为90°：如果一个 底角是顶角的2倍，那么顶角的度数为36° 。能力提升 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD
13.3 等腰三角形 第 1 课时 等腰三角形的性质 1.下列性质中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是(B). A.两边之和大于第三边 B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C.有两个锐角的和等于 90° D.内角和等于 180° 2.已知等腰三角形的一个内角为 70°,则另外两个内角的度数是(C). A.55°,55° B.70°,40° C.55°,55°或 70°,40° D.以上都不正确 3.如图,已知 AD,BE 分别是△ABC 的中线和高,且 AB=AC,∠EBC=20°,则∠CAD 的 度数为(B). A.18° B.20° C.22.5° D.25° 4.在等腰三角形中,如果顶角是一个底角的 2 倍,那么顶角的度数为 90°;如果一个 底角是顶角的 2 倍,那么顶角的度数为 36°. 5.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是边 BC 上的中线,BE⊥AC 于点 E. 求证:∠CBE=∠BAD
B 证明：因为AB=AC,AD是边BC上的中线，所以AD⊥BC 又BE⊥AC, 所以∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°， 所以∠CBE=∠CAD 又因为∠CAD=∠BAD, 所以∠CBE=∠BAD 6.如图，在△ABC中，已知AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,若∠BDC=150°，求 ∠A的度数 答案：140° 第2课时等腰三角形的判定 素能·达标」 0基础巩固 1.如图，等腰三角形的个数为(A) 36°36⊙ A.5 B.4 c.3 D.2 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,CE分别是△ABC,△BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形的个数为(A)
证明:因为 AB=AC,AD 是边 BC 上的中线,所以 AD⊥BC. 又 BE⊥AC, 所以∠CBE+ ∠C=∠CAD+∠C=90°, 所以∠CBE=∠CAD. 又因为∠CAD=∠BAD, 所以∠CBE=∠BAD. 6.如图,在△ABC 中,已知 AB=AC,CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,若∠BDC=150°,求 ∠A 的度数. 答案:140° 第 2 课时 等腰三角形的判定 1.如图,等腰三角形的个数为 (A). A.5 B.4 C.3 D.2 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°, BD,CE 分别是△ABC,△BCD 的角平分线, 则图中的等腰三角形的个数为 (A)
A.5 B.4 C.3 D.2 3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为 (C). A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图所示，在三角形中，AB=AC,能被一条直线分成两个小的等腰三角形的是(D)】 08 ④ A.①②③ B.①②④ c.②③④ D.①③④ 5.在△ABC中，∠C=∠B,D,E分别是AB,AC上的点，AE=2cm,且DE∥BC,则AD的 长度为2cm 。能力提升 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,BE平分∠ABC交AD于点F.求证：△AEF 是等腰三角形
A.5 B.4 C.3 D.2 3.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,ED∥BC,已知 AB=3,AD=1,则△AED 的周长为 (C). A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图所示,在三角形中,AB=AC,能被一条直线分成两个小的等腰三角形的是(D). A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 5.在△ABC 中,∠C=∠B,D,E 分别是 AB,AC 上的点,AE=2 cm,且 DE∥BC,则 AD 的 长度为 2 cm. 6.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE 平分∠ABC 交 AD 于点 F.求证:△AEF 是等腰三角形
证明：由题意知∠AEF=∠C+∠CBE,∠AFE=∠ABF+∠BAF 因为∠BAC=90°，AD⊥BC, 所以∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAF=90° 所以∠BAF=∠C 又因为BE平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBE 所以∠AFE=∠AEF 所以AE=AF(等角对等边)，即△AEF是等腰三角形 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边AB上一点，作DE⊥BC于点E,ED的延长线交 CA的延长线于点F,则△ADF是等腰三角形吗？为什么？ 解：△ADF是等腰三角形， 理由如下：因为AB=AC,所以∠C=∠B.又因为DE⊥BC,所以 ∠EDB=∠ADF=90°-∠B,∠F=90°-∠C.所以∠ADF=∠F. 所以△ADF是等腰三角形 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长 线于点F,点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF (I)求证：△ADE≌△BFE: (2)连接EG,判断EG与DF的位置关系，并说明理由， (I)证明：因为AD∥BC, 所以∠ADE=∠F 因为E是AB的中点，所以AE=BE, 因为∠AED=∠BEF
证明:由题意知∠AEF=∠C+∠CBE,∠AFE=∠ABF+∠BAF. 因为∠BAC=90°,AD⊥BC, 所以∠ABC+∠C=90°,∠ABC+∠BAF=90°. 所以∠BAF=∠C. 又因为 BE 平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBE. 所以∠AFE=∠AEF. 所以 AE=AF(等角对等边),即△AEF 是等腰三角形. 7.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是边 AB 上一点,作 DE⊥BC 于点 E,ED 的延长线交 CA 的延长线于点 F,则△ADF 是等腰三角形吗?为什么? 解:△ADF 是等腰三角形. 理由如下:因为 AB=AC,所以∠C=∠B.又因为 DE⊥BC,所以 ∠EDB=∠ADF=90°-∠B,∠F=90°-∠C.所以∠ADF=∠F. 所以△ADF 是等腰三角形. 8.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 AB 的中点,连接 DE 并延长交 CB 的延长 线于点 F,点 G 在边 BC 上,且∠GDF=∠ADF. (1)求证:△ADE≌△BFE; (2)连接 EG,判断 EG 与 DF 的位置关系,并说明理由. (1)证明:因为 AD∥BC, 所以∠ADE=∠F. 因为 E 是 AB 的中点,所以 AE=BE, 因为∠AED=∠BEF
所以△ADE≌△BFE(AAS) (2)解：EG⊥DF 理由如下：因为∠GDF=∠ADF, ∠ADF=∠F, 所以∠GDF=∠F,所以GD=GF 由(I)△ADE≌△BFE知，DE=FE, 所以EG⊥DF 第3课时 等边三角形 素能.标0 。基础巩固 1.下列叙述正确的是(D) A等腰三角形是等边三角形 B.因为所有的等边三角形形状都相同，所以它们都全等 C.三个内角之比为1：2：3的三角形是等腰三角形 D.等边三角形三条中线所在的直线是它的三条对称轴 2.等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是(C), A.30° B.50° C.60° D.90° 3.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC,点E在AC上，且AE=AD,则∠DEC的度数 为A) D A.1059 B.95° C.85°
所以△ADE ≌△BFE(AAS). (2)解:EG⊥DF. 理由如下:因为∠GDF=∠ADF, ∠ADF=∠F, 所以∠GDF=∠F,所以 GD=GF. 由(1)△ADE≌△BFE 知,DE=FE, 所以 EG⊥DF. 第 3 课时 等边三角形 1.下列叙述正确的是 (D). A.等腰三角形是等边三角形 B.因为所有的等边三角形形状都相同,所以它们都全等 C.三个内角之比为 1∶2∶3 的三角形是等腰三角形 D.等边三角形三条中线所在的直线是它的三条对称轴 2.等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是(C). A.30° B.50° C.60° D.90° 3.如图,△ABC 是等边三角形,AD⊥BC,点 E 在 AC 上,且 AE=AD,则∠DEC 的度数 为(A). A.105° B.95° C.85°
D.75° 4.如图，P,Q,R分别为等边三角形ABC各边的中点，则△PQR的面积S与三角形 ABC的面积S的关系为=S 0能力提升 5.如图，已知△ABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AC上，且AE=CD,AD与BE 相交于点F (I)求证：△ABE≌△CAD (2)求∠BFD的度数， (I)证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC, ∠BAE=∠C=60° 在AABE和△CAD中， (AB =AC, ∠BAE=∠C, AE =CD, 所以△ABE≌△CAD(SAS) (2)解：因为△ABE≌△CAD, 所以∠ABE=∠CAD 又∠BFD=∠ABE+∠BAD, 所以∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° 6.如图，点C是线段AB上一点，△ACM,△CNB是等边三角形，AN交CM于点E,BM 交CW于点F.求证：△ECF为等边三角形
D.75° 4.如图,P,Q,R 分别为等边三角形 ABC 各边的中点,则△PQR 的面积 S1与三角形 ABC 的面积 S 的关系为 S1= 1 4 S. 5.如图,已知△ABC 为等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 AE=CD,AD 与 BE 相交于点 F. (1)求证:△ABE≌△CAD. (2)求∠BFD 的度数. (1)证明:因为△ABC 是等边三角形,所以 AB=AC, ∠BAE=∠C=60°. 在△ABE 和△CAD 中, { 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐶, 𝐴𝐸 = 𝐶𝐷, 所以△ABE ≌△CAD (SAS). (2)解:因为△ABE ≌△CAD, 所以∠ABE=∠CAD. 又∠BFD=∠ABE+∠BAD, 所以∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. 6.如图,点 C 是线段 AB 上一点,△ACM,△CNB 是等边三角形,AN 交 CM 于点 E,BM 交 CN 于点 F.求证:△ECF 为等边三角形
证明：因为△ACM,△CNB是等边三角形 所以AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°， 所以∠MCN=180°-∠ACM∠BCN=60° 因为∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN, 所以∠ACN=∠MCB. 在△ACN和△MCB中， (AC MC, ∠ACN=∠MCB, CN=CB, 所以△ACN≌△MCB(SAS). 所以∠ANC=∠MBC. 在△ENC和△FBC中， (LENC LFBC, CN=CB, ∠ECN=∠FCB=60°， 所以△ENC≌△FBC(ASA) 所以CE=CF 又∠MCN=60°，所以△ECF为等边三角形 7.如图，△ABD,△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F. (I)求证：CD=BE: (2)求∠CFE的度数 (I)证明：因为△ABD,△AEC都是等边三角形 所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60° 因为∠DAC=∠DAB-∠CAB, ∠BAE=∠CAE-∠CAB, 所以∠DAC=∠BAE. 在△DAC和△BAE中
证明:因为△ACM,△CNB 是等边三角形, 所以 AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°, 所以∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°. 因为∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN, 所以∠ACN=∠MCB. 在△ACN 和△MCB 中, { 𝐴𝐶 = 𝑀𝐶, ∠𝐴𝐶𝑁 = ∠𝑀𝐶𝐵, 𝐶𝑁 = 𝐶𝐵, 所以△ACN ≌△MCB (SAS). 所以∠ANC=∠MBC. 在△ENC 和△FBC 中, { ∠𝐸𝑁𝐶 = ∠𝐹𝐵𝐶, 𝐶𝑁 = 𝐶𝐵, ∠𝐸𝐶𝑁 = ∠𝐹𝐶𝐵 = 60°, 所以△ENC ≌△FBC (ASA). 所以 CE=CF. 又∠MCN=60°,所以△ECF 为等边三角形. 7.如图,△ABD,△AEC 都是等边三角形,直线 CD 与直线 BE 交于点 F. (1)求证:CD=BE; (2)求∠CFE 的度数. (1)证明:因为△ABD,△AEC 都是等边三角形, 所以 AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°,∠CAE=60°. 因为∠DAC=∠DAB-∠CAB, ∠BAE=∠CAE-∠CAB, 所以∠DAC=∠BAE. 在△DAC 和△BAE 中
(AD AB ∠DAC=∠BAE, AC AE, 所以△DAC≌△BAE(SAS) 所以CD=BE. (2)解：因为△DAC≌△BAE, 所以∠ADC=∠ABE, 所以∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABE=∠BDF+∠DBA+∠ADC= ∠BDA+∠DBA=60°+60°=120° 第4课时含30°角的直角三角形的性质 素能.标知④ 。基础巩固 1某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示.图中AB,CD分别表示一楼、 二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高 度h是(B) 1509 A.3m B.4m C.5m D.6m 2.如图，△ABC是一张顶角为120的等腰三角形纸片，AB=AC,BC=12,现将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则DE的长为B) A.1 B.2 C.3 D.6
{ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵, ∠𝐷𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐸, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐸, 所以△DAC≌△BAE(SAS). 所以 CD=BE. (2)解:因为△DAC≌△BAE, 所以∠ADC=∠ABE, 所以∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABE=∠BDF+∠DBA+∠ADC= ∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°. 第 4 课时 含 30°角的直角三角形的性质 1.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示.图中 AB,CD 分别表示一楼、 二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC 的长是 8 m,则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高 度 h 是(B). A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m 2.如图,△ABC 是一张顶角为 120°的等腰三角形纸片,AB=AC,BC=12,现将△ABC 折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 DE 的长为(B). A.1 B.2 C.3 D.6
3.如图，在△ABC中，已知∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平 分∠ACB.若BE=2,则AE的长为⊥ B 4.如图，在△ABC中，∠B=∠ACB=15°，AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D, 则CD的长为1cm 5.如图，已知OP平分∠AOB,∠AOP=15°，PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD=2 B 015° D 0能力提升 6.如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于 点E,且CE=1,求BC的长 解：因为△ABC为等边三角形， 所以∠ABC=∠C=60°，AC=BC. 因为BD平分∠ABC 所以CD=2AC=BC. 2 因为DE⊥BC,∠C=60°， 所以∠CDE=30 所以CD=2CE=2. 故BC=2CD=4. 7.如图，E,F分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点，且BE=AF,CE,BF交于点 P,且EG⊥BF,垂足为G.求证：
3.如图,在△ABC 中,已知∠B=30°,BC 的垂直平分线交 AB 于点 E,垂足为 D,CE 平 分∠ACB.若 BE=2,则 AE 的长为 1. 4.如图,在△ABC 中,∠B=∠ACB=15°,AB= 2 cm,CD⊥AB 交 BA 的延长线于点 D, 则 CD 的长为 1 cm. 5.如图,已知 OP 平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA 于点 D,PC=4,则 PD=2. 6.如图,在等边三角形 ABC 中,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,过点 D 作 DE⊥BC 于 点 E,且 CE=1,求 BC 的长. 解:因为△ABC 为等边三角形, 所以∠ABC=∠C=60°,AC=BC. 因为 BD 平分∠ABC, 所以 CD=1 2 AC=1 2 BC. 因为 DE⊥BC,∠C=60°, 所以∠CDE=30°. 所以 CD=2CE=2. 故 BC=2CD=4. 7.如图,E,F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB,AC 上的点,且 BE=AF,CE,BF 交于点 P,且 EG⊥BF,垂足为 G.求证:
(I)∠BCE=∠ABF (2)PE=2PG. 证明：(1)因为△ABC为等边三角形，所以BC=AB,∠A=∠EBC=60°. 在△BCE和△ABF中， (BC AB, ∠EBC=LA, BE AF, 所以△BCE≌△ABF(SAS) 所以∠BCE=∠ABF (2)由(1)知∠BCE=∠ABF 因为∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，所以∠PBC+∠PCB=60°. 因为∠PBC+∠PCB=∠BPE,所以∠BPE=60° 因为EG⊥BF,即∠PGE=90°， 所以∠GEP=30°.所以PE=2PG
(1)∠BCE=∠ABF. (2)PE=2PG. 证明:(1)因为△ABC 为等边三角形,所以 BC=AB,∠A=∠EBC=60°. 在△BCE 和△ABF 中, { 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵, ∠𝐸𝐵𝐶 = ∠𝐴, 𝐵𝐸 = 𝐴𝐹, 所以△BCE≌△ABF (SAS). 所以∠BCE=∠ABF. (2) 由(1)知∠BCE=∠ABF, 因为∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,所以∠PBC+∠PCB=60°. 因为∠PBC+∠PCB=∠BPE,所以∠BPE=60°. 因为 EG⊥BF,即∠PGE=90°, 所以∠GEP=30°.所以 PE= 2PG