全程设计 2.导数及其应用
2.导数及其应用
梳理·构建体系 归纳·核心突破
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导航 梳理·构建体系 知识网络 平均变化率的几何意义 平均变化率 平均变化率的物理意义 瞬时变化率与导数 导数的几何意义 导数 基本初等函数的导数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数的求导公式 和、差、 积、商的求导法则 求导法则及应用 复合函数的求导法则 导数及其应用 判断、证明函数的单调性 单调性 单调性的逆向应用 极值的求法 利用导数研究函数的性质 极值与最值 最值的求法 导数的综合应用 利用导数解决实际问题
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要点梳理 导则 1什么是平均变化率？ 提示：一般地，若函数y=fx)的定义域为D,且 x1x2∈D,x1x2y1=fK1)y2fx2),则称△=x21为自变量的改变 量；称△y2y(或△fx2)x1)为相应的因变量的改变量； 0=(或= 为函数y=fx)在以x1,2为 端点的闭区间上的平均变化率.由于2=x1+比，而且x2)= c+,因此平均变化率 f(x1+Ax)-f(x1)_f(x1+Ax)-f(x1) △X (x1+△x)-x1 △x
要点梳理 导航 1.什么是平均变化率? 提示:一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且 x1 ,x2∈D,x1≠x2 ,y1=f(x1 ),y2=f(x2 ),则称Δx=x2 -x1为自变量的改变 量;称Δy=y2 -y1 (或Δf=f(x2 )-f(x1 ))为相应的因变量的改变量; 称 𝚫𝒚 𝚫𝒙 = 𝒚𝟐 -𝒚𝟏 𝒙𝟐-𝒙𝟏 或 𝚫𝒇 𝚫𝒙 = 𝒇(𝒙𝟐)-𝒇(𝒙𝟏) 𝒙𝟐-𝒙𝟏 为函数 y=f(x)在以 x1,x2为 端点的闭区间上的平均变化率.由于 x2=x1+Δx,而且 f(x2)= f(x1+Δx),因此平均变化率𝚫𝒇 𝚫𝒙 = 𝒇(𝒙𝟏 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟏) (𝒙𝟏 +𝚫𝒙)-𝒙𝟏 = 𝒇(𝒙𝟏 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟏) 𝚫𝒙
2.导数或瞬时变化率的概念是什么？ 提示：一般地，设函数y=fx)在o附近有定义，自变量在=xo处 的改变量为△，当△x无限接近于0时，若平均变化率 △x fx0+△xfxD无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数 △X fx)在=x处的瞬时变化率.此时，也称fx)在x处可导，并称k为 x)在x=x处的导数，记作fK)=k“当△x无限接近于0
导航 2.导数或瞬时变化率的概念是什么? 提示:一般地,设函数 y=f(x)在 x0附近有定义,自变量在 x=x0处 的改变量为 Δx,当 Δx 无限接近于 0 时,若平均变化率𝚫𝒇 𝚫𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝚫𝒙 无限接近于一个常数 k,那么称常数 k 为函数 f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为 f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0 )=k.“当Δx无限接近于0
导航 时，fo+4-f0无限接近于常数k”用符号“→”表示为当 △x Ax-→0时.，fo+Axfo）k,或者写成1im+4-f-k △x △X→0 △x 即f'(xo)=lim f(xo+△x)-f(xo) Mx→0 △X
导航 时, 𝒇(𝒙𝟎 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝜟𝒙 无限接近于常数 k”用符号“→”表示为当 Δx→0 时, 𝒇(𝒙𝟎 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝚫𝒙 →k,或者写成 𝐥𝐢𝐦𝚫𝒙→𝟎 𝐟(𝐱𝟎 +𝜟𝐱)-𝐟(𝐱𝟎) 𝜟𝐱 =k, 即 f'(x0)= 𝒍𝒊𝒎𝜟𝐱→𝟎 𝒇(𝒙𝟎 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝚫𝒙
3.导数的几何意义是什么？ 提示：如果将函数y=fx)的图象看成曲线（称为曲线y=),而 且曲线y=f)在点Acox)处的切线为L,则△x很小 时，B(+△，c+△)是A附近的一点，割线AB的斜率是 △[=fxo+Axfx@,则当△x无限接近于0时，割线AB的斜率 △X △x 将无限趋近于切线的斜率这就是说，fK)就是曲线y=fx)在 点(x)处（也称在=x处）的切线的斜率，切线的方程是 )f(o)(x-xo)
导航 3.导数的几何意义是什么? 提示:如果将函数y=f(x)的图象看成曲线(称为曲线y=f(x)),而 且曲线y=f(x)在点A(x0 ,f(x0 ))处的切线为l,则Δx很小 时,B(x0+Δx,f(x0+Δx))是A附近的一点,割线AB的斜率是 𝚫𝒇 𝚫𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝚫𝒙 ,则当 Δx 无限接近于 0 时,割线 AB 的斜率 将无限趋近于切线l的斜率.这就是说,f'(x0 )就是曲线y=f(x)在 点(x0 ,f(x0 ))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,切线的方程是yf(x0 )=f'(x0 )(x-x0 )
导航 4.根据基本初等函数的导数公式，请完成下表 基本初等函数 导函数 fx)=c(c为常数) f'x)= Ax)=xa f'x)= fx)=sinx f(x)= fx)=cosx f(x)= Ax)=er f)= fx)=(a>0) f(x)= fx)=Inx 足 fx)=logx(>0,且呋1) a
导航 4.根据基本初等函数的导数公式,请完成下表. 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= 0 f(x)=xα f'(x)= αx α-1 f(x)=sin x f'(x)= cos x f(x)=cos x f'(x)= -sin x f(x)=e x f'(x)= e x f(x)=ax (a>0) f'(x)= a x ln a f(x)=ln x f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= 𝟏 𝐱 f'(x)= 𝟏 𝐱𝒍𝒏𝐚
导航 5.导数的运算法则有哪些？ 提示：若fx)g'x)存在，则有： (1)x)±gc)]'=f'x)±g'x); (2)[fx)g(x)]'=f'(x)g(x)+fx)g'x); 35-Fagw巴gw
导航 5 .导数的运算法则有哪些? 提示 : 若f' (x),g' (x )存在 ,则有 : (1)[f(x ) ± g (x)]'=f' (x ) ±g' (x); (2)[f(x )g (x)]'=f' (x )g (x)+f(x )g' (x); (3) 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) '=𝒇'( 𝒙)𝒈(𝒙)-𝒇(𝒙)𝒈'( 𝒙) 𝒈𝟐(𝒙) (g(x)≠0)
导航 6.如何求复合函数的导数？ 提示：复合函数y=f孔gx)的导数和函数y=fW),u=gx)的导数间 的关系为y'=y'ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的 导数的乘积
导航 6.如何求复合函数的导数? 提示:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间 的关系为yx '=yu 'ux ' ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的 导数的乘积