全程设计 微专题一 数列求和
微专题一 数列求和
导 利用公式法求和 等差数列、等比数列或可转化为等差数列、等比数列的数 列，可直接用等差数列、等比数列的求和公式求和 等差数列的前n项和公式S,a士na4 2 na1,q=1, 等比数列的前n项和公式Sq+1
导航 一 利用公式法求和 等差数列、等比数列或可转化为等差数列、等比数列的数 列,可直接用等差数列、等比数列的求和公式求和. 等差数列的前 n 项和公式 Sn= 𝒏(𝒂𝟏 +𝒂𝒏) 𝟐 =na1+ 𝒏(𝒏-𝟏) 𝟐 d; 等比数列的前 n 项和公式 Sn= 𝒏𝒂𝟏,𝒒 = 𝟏, 𝒂𝟏(𝟏-𝒒 𝒏) 𝟏-𝒒 ,𝒒 ≠ 𝟏
【典型例题1】已知数列{am}的前n项和为S,1=1, 0n+1=2Sn+1. (1)求数列{}的通项公式； (2)等差数列{b,}的各项均为正数，其前n项和为Tm,且T3=15, 又a1+b1,2+b2,3+b3成等比数列，求Tr 解：(1)由am+1=2Sn+1,可得an=2Sm1+1(n≥2)， 两式相减，得an+1n=2am4+13an(n≥2) 因为42=2S1+1=3,所以23r 故{a}是首项为1，公比为3的等比数列，即am=3-1
导航 【典型例题1】已知数列{an }的前n项和为Sn ,a1 =1, an+1 =2Sn +1. (1)求数列{an }的通项公式; (2)等差数列{bn }的各项均为正数,其前n项和为Tn ,且T3 =15, 又a1+b1 ,a2+b2 ,a3+b3成等比数列,求Tn . 解:(1)由an+1 =2Sn +1,可得an =2Sn-1+1(n≥2), 两式相减,得an+1 -an =2an ,an+1 =3an (n≥2). 因为a2 =2S1+1=3,所以a2 =3a1 . 故{an }是首项为1,公比为3的等比数列,即an =3 n-1
(2)设等差数列{b}的公差为山， 导航 由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5, 即b1=5-d,b3=5+d 又41=1,23,43=9， 由题意可得(5-d什1)5+d+9)=(5+3)2. 解得d=2或d=10. 又等差数列{b}的各项为正数， 即d>0,故d=2,b1=5-d=3, 得Ir3n+g2=n2+2n
导航 (2)设等差数列{bn}的公差为d, 由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5, 即b1=5-d,b3=5+d. 又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5 -d+1)(5+d+9) =(5 +3) 2 . 解得d= 2 或d=-10 . 又等差数列 { b n }的各项为正数 , 即d>0, 故d=2, b 1 = 5 -d=3, 得 Tn = 3n+𝒏(𝒏-𝟏) 𝟐 × 2=n 2 + 2 n
导航 解题技巧对于等差数列或等比数列，我们可直接利用前项 和公式求和.在利用等比数列前项和公式时，要注意对公比 是否为1进行讨论
导航 解题技巧 对于等差数列或等比数列,我们可直接利用前n项 和公式求和.在利用等比数列前n项和公式时,要注意对公比 是否为1进行讨论
导航 跟踪训练1已知等比数列{a}的各项均为正数，其前n项和为 SmS3=14,S6=126. (1)求数列{a}的通项公式； (2)求数列{lgan}的前n项和Tr
导航 跟踪训练1已知等比数列{an }的各项均为正数,其前n项和为 Sn ,S3 =14,S6 =126. (1)求数列{an }的通项公式; (2)求数列{lg an }的前n项和Tn
解：(1)设等比数列{an}的公比为q, 导航 因为41+2+3-14,41+2+3+…+6=126， 所以4+u5+a6=112=(a1+2+3)q, 所以q3=8,得q=2. 由u1+2a1+4a1=14,解得u1=2,即an=2m (2)因为an=2n,所以lgam=nlg2. lg a-g a,=(n+1)Ig 2-nlg 2=1g 2. 即数列{lg4m}是首项为g2,公差为g2的等差数列. 故Tr=l鸣24g20+"g2
导航 解:(1)设等比数列{an }的公比为q, 因为a1+a2+a3 =14,a1+a2+a3+…+a6 =126, 所以a4+a5+a6 =112=(a1+a2+a3 )q 3 , 所以q 3=8,得q=2. 由a1+2a1+4a1 =14,解得a1 =2,即an =2 n . (2)因为an =2 n ,所以lg an =nlg 2. lg an+1 -lg an =(n+1)lg 2-nlg 2=lg 2. 即数列{lg an }是首项为lg 2,公差为lg 2的等差数列. 故 Tn =nlg 2+ 𝒏(𝒏-𝟏) 𝟐 lg 2= 𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐 lg 2
二分组转化法求和 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或 可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再 相加减 【典型例题2】己知在等比数列{an}中，1=1，且a1,2,g1成等 差数列. (1)求数列{a}的通项公式； (2)若数列{b}满足bm=2n-1+am,数列{bm}的前n项和为Sm,试比 较S,与n2+2的大小
导航 二 分组转化法求和 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或 可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再 相加减. 【典型例题2】已知在等比数列{an }中,a1 =1,且a1 ,a2 ,a3 -1成等 差数列. (1)求数列{an }的通项公式; (2)若数列{bn }满足bn =2n-1+an ,数列{bn }的前n项和为Sn ,试比 较Sn与n 2+2 n的大小
解：(1)设等比数列{a}的公比为q, 导航 01,2,3-1成等差数列，1=1， .2-aHs-1=a∴48g2, ∴.an=01qr-l=2r-l (2)由(1)知bm=2n-1+an=2n-1+2m-1, 则Sm=(1+1)+3+2)+(5+22)+…+(2-1+2m-) =[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2m-1) r2aDn2+21 2 .Sn-(n2+2"=-1<0,∴Sn<1n2+2n
导航 解:(1)设等比数列{an }的公比为q, ∵a1 ,a2 ,a3 -1成等差数列,a1 =1, ∴2a2=a1+(a3-1)=a3,∴q= 𝒂𝟑 𝒂𝟐 =2, ∴an=a1q n-1=2 n-1 . (2)由(1)知bn =2n-1+an =2n-1+2 n-1 , 则Sn =(1+1)+(3+2)+(5+2 2 )+…+(2n-1+2 n-1 ) =[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+2 2+…+2 n-1 ) = 𝟏+(𝟐𝒏-𝟏) 𝟐 ·n+𝟏-𝟐 𝒏 𝟏-𝟐 =n2 +2 n -1. ∵Sn -(n 2+2 n )=-1<0,∴Sn<n2+2 n
导 解题技巧1.若数列{c}的通项公式为cn=an±bm且{an,{bn} 为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{c}的前 n项和. an,n为奇数 2.若数列{c}的通项公式为cm= bn,n为偶数， 其中数列{an}, {b}是等比数列或等差数列，则也可采用分组求和法求{c}的 前n项和
导航 解题技巧 1.若数列{cn }的通项公式为cn =an±bn ,且{an },{bn } 为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn }的前 n项和. 2.若数列{cn }的通项公式为cn= 其中数列{an }, {bn }是等比数列或等差数列,则也可采用分组求和法求{cn }的 前n项和. 𝒂𝒏,𝒏为奇数, 𝒃𝒏,𝒏为偶数