全程设计 4.2.2 等差数列的前n须和公式 第2课时 等差数列前n项和的应用
4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时 等差数列前n项和的应用
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随 堂 训 练
导 素养·目标定位 目标素养 L.运用等差数列的前项和知识解决一些实际问题，提升数学 建模核心素养 2.会利用等差数列前项和的函数特征求最值，提升逻辑推理 和数学运算的核心素养 3.能运用裂项相消法解决一些数列求和问题，提升逻辑推理和 数学运算的核心素养
导航 目 标 素 养 1.运用等差数列的前n项和知识解决一些实际问题,提升数学 建模核心素养. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值,提升逻辑推理 和数学运算的核心素养. 3.能运用裂项相消法解决一些数列求和问题,提升逻辑推理和 数学运算的核心素养. 素养·目标定位
知识概览 导航 等差数列前n项和的实际应用 等差数列 前n项和 求等差数列前n项和的方法 的应用 裂项相消法
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课前·基础认知 L.等差数列{a,}的前n项和公式的函数特征 等差数列a}的前n项和公式S,=a+可化成关于n的 表达式：S,受2+(a1-)m当40时，Sn关于n的表达式是一个常 数项为零的二次式，即点(n,Sm)在其相应的 函数的图象 上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的 图象是抛物线y受+（α1-上横坐标为正整数的一系列孤立 的点
导航 1.等差数列{an }的前n项和公式的函数特征 等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn=na1+ 𝒏(𝒏-𝟏)𝒅 𝟐 可化成关于 n 的 表达式:Sn= 𝒅 𝟐 n 2 + 𝒂𝟏- 𝒅 𝟐 n.当 d≠0 时,Sn关于 n 的表达式是一个常 数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的 二次 函数的图象 上,这就是说等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,它的 图象是抛物线 y= 𝒅 𝟐 x 2 + 𝒂𝟏- 𝒅 𝟐 x 上横坐标为正整数的一系列孤立 的点. 课前·基础认知
导 微探究如果一个数列的前n项和Sn=3n2+n,那么这个数列是 等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？ 提示：如果一个数列的前n项和Sn=3n2+n,那么当n=1时， S1=a1=4;当n≥2时，n=SmSm-1=6n-2,a1=4符合该式，则该数列的 通项公式为4m=6-2,故该数列为等差数列.该结论推广到一般 情况成立
导航 微探究 如果一个数列的前n项和Sn =3n 2+n,那么这个数列是 等差数列吗?上述结论推广到一般情况成立吗? 提示:如果一个数列的前n项和Sn =3n 2+n,那么当n=1时, S1=a1 =4;当n≥2时,an=Sn -Sn-1 =6n-2,a1 =4符合该式,则该数列的 通项公式为an =6n-2,故该数列为等差数列.该结论推广到一般 情况成立
2.等差数列前n项和的最值 1)在等差数列{a}中， 当a>0,d0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等 式组an≤0， {ar+i0确定 当a>0,心0时，{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值； 当a1<0,K0时，{S}是递减数列，S1是{S}的最大值
导航 2.等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an }中, 当 a1>0,d0 时,Sn有 最小 值,使 Sn取到最值的 n 可由不等 式组 𝒂𝒏 ≤ 𝟎, 𝒂𝒏+𝟏 ≥ 𝟎 确定. 当a1>0,d>0时,{Sn }是递增数列,S1是{Sn }的最小值; 当a1<0,d<0时,{Sn }是递减数列,S1是{Sn }的最大值
导则 2S2P+(a1-)n,若0，则从二次函数的角度看：当0时， S有 值；当d<0时，Sn有 值.当n取最接近抛物 线对称轴的自然数时，S取到最值， 微诊断{an}是等差数列，其前n项和为Sm,数列{a}的前n项 和也是Sn吗？ 提示：不一定
导航 Sn有 最小 值;当d0 时
导航 3.求Sn的最小（大）值的方法 ()）利用通项公式寻求正、负项的分界点，从第一项起到分 界点项的各项和为最大（小）值 (2)借助二次函数的图象及性质求最值
导航 3.求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,从第一项起到分 界点项的各项和为最大(小)值. (2)借助二次函数的图象及性质求最值
导航 微拓展已知一个数列{a}的前n项和Sn=n2-5n,试作出Sn关于 n的函数图象 你能说明数列{a}的单调性吗？该数列的前n项和有最值吗？
导航 微拓展 已知一个数列{an }的前n项和Sn=n2 -5n,试作出Sn关于 n的函数图象. 你能说明数列{an }的单调性吗?该数列的前n项和有最值吗?