全程设计 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义
5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随 堂 训 练
导 素养·目标定位 目标素养 1.了解导数的概念，会求函数在某点处的导数，提升数学抽象 核心素养 2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程，提升 直观想象、数学运算核心素养 3理解导函数的概念，会用定义法求简单函数的导函数，提升 逻辑推理核心素养
导航 目 标 素 养 1.了解导数的概念,会求函数在某点处的导数,提升数学抽象 核心素养. 2.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程,提升 直观想象、数学运算核心素养. 3.理解导函数的概念,会用定义法求简单函数的导函数,提升 逻辑推理核心素养. 素养·目标定位
知识概览 导航 导数的概念 导数的概念及其 几何意义 导数的几何意义 导函数的概念
知 识 概 览 导航
导 课前·基础认知 1.导数的概念 对于函数y=fx),设自变量x从x变化到x+△x,相应地，函数值 y就从fco)变化到fx+x).这时，x的变化量为△xy的变化量为 r+Ao我们把比值即=otAo叫做函数 Ax y=fx)从x到xo+△x的
导航 1.导数的概念 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值 y就从f(x0 )变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值 𝚫𝒚 𝚫𝒙 ,即 𝚫𝒚 𝚫𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝚫𝒙 叫做函数 y=f(x)从x0到x0+Δx的 平均变化率 . 课前·基础认知
导 如果当△x→0时，平均变化率y无限趋近于一个确定的值，即 △X 有极限，则称y=)在=处可导，并把这个确定的值叫做 △X y=fx)在x=处的 (也称为瞬时变化率)，记作(o)或 y1x=o即f)=img = lim f(xo+△x)-f(xo) △x0△x △x→0 △X
导航 如果当 Δx→0 时,平均变化率𝚫𝒚 𝚫𝒙 无限趋近于一个确定的值,即 𝚫𝒚 𝚫𝒙 有极限,则称 y=f(x)在 x=x0处可导,并把这个确定的值叫做 y=f(x)在 x=x0处的 导数 (也称为瞬时变化率),记作 f'(x0)或 y'| 𝒙=𝒙𝟎 ,即 f'(x0)= 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙→𝟎 𝜟𝐲 𝜟𝐱 = 𝒍𝒊𝒎 𝜟𝐱→𝟎 𝒇(𝒙𝟎 +𝚫𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝚫𝒙
导航 微探究满足什么条件时，函数y=fx)在=x处的导数存在？ 提示函数)一在=处的导数存在，是指当r0时器有 极限，若义不存在极限，则函数y=f)在=处不可导. △X
导航 微探究 满足什么条件时,函数y=f(x)在x=x0处的导数存在? 提示:函数 y=f(x)在 x=x0处的导数存在,是指当 Δx→0 时, 𝚫𝒚 𝚫𝒙 有 极限,若 𝚫𝒚 𝚫𝒙 不存在极限,则函数 y=f(x)在 x=x0处不可导
导航 2.导数的几何意义 （)切线的定义：如图，在曲线y=fx) y=f(x)/p 上任取一点Px,fx),如果当点 Pc,x)沿着曲线v=fx)无限趋近 于点Pcx)时，割线PP无限趋 近于一个确定的位置，这个确定位 置的直线PT称为曲线y=fx)在点 f(xo) P处的 0
导航 2 .导数的几何意义 (1 )切线的定义 :如图 ,在曲线y=f(x ) 上任取一点 P(x ,f(x)),如果当点 P (x ,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近 于点 P0 (x 0 ,f(x 0 )) 时 ,割线 P0P无限趋 近于一个确定的位置 ,这个确定位 置的直线 P0 T称为曲线y=f(x )在点 P0处的 切线
2)导数的几何意义：割线PP的斜率kf0记△x-,当 x-Xo 点P沿着曲线y=fx)无限趋近于点Po时，即当△x→0时，k无限趋 近于函数y=fx)在x=x处的导数.因此，函数y=fx)在x=处的导 数fco)就是切线PT的斜率ko,即ko=im fKo+△x-f(xo) △X→0 △x 这就是导数的几何意义
导航 (2)导数的几何意义:割线 P0P 的斜率 k=𝒇(𝒙)-𝒇(𝒙𝟎) 𝒙-𝒙𝟎 .记 Δx=x-x0,当 点 P 沿着曲线 y=f(x)无限趋近于点 P0时,即当 Δx→0 时,k 无限趋 近于函数 y=f(x)在 x=x0处的导数.因此,函数 y=f(x)在 x=x0处的导 数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0= 𝐥𝐢𝐦𝚫𝒙→𝟎 𝐟(𝐱𝟎 +𝜟𝐱)-𝐟(𝐱𝟎) 𝜟𝐱 = f'(x0) . 这就是导数的几何意义
微训练1已知曲线y=fx)=x3在点P处的切线斜率为3，则点P的 坐标为 答案：(-1，-1)或(1,1) 解析：设点P的坐标为(o,x), 则有im f(xo+Ax)-f(xo)-lim 3xAx+3x0(Ax)2+(△x)3 △X→0 △x △x→0 △X 1im3x6+3x0x+(x)2]=3x6=3, △X→0 解得x=±1. 故点P的坐标为(1,1)或(1，-1)
导航 微训练1已知曲线y=f(x)=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的 坐标为 . 答案:(-1,-1)或(1,1) 则有 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙→𝟎 𝐟(𝐱𝟎 +𝜟𝐱)-𝐟(𝐱𝟎) 𝜟𝐱 = 𝒍𝒊𝒎 𝜟𝐱→𝟎 𝟑𝒙𝟎 𝟐 𝚫𝒙+𝟑𝒙𝟎(𝚫𝒙) 𝟐 +(𝚫𝒙) 𝟑 𝚫𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙→𝟎 [3𝒙𝟎 𝟐 +3x0Δx+(Δx) 2 ]=3𝒙𝟎 𝟐 =3, 解得x0 =±1. 故点P的坐标为(1,1)或(-1,-1). 解析:设点 P 的坐标为(x0,𝒙𝟎 𝟑 )