全程设计 7.3.2 离散型随机变量的方差
7.3.2 离散型随机变量的方差
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随 堂 训 练
导期 素养·目标定位 目标素养 1理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题， 3.掌握方差的性质以及两点分布方差的求法，会利用公式求它 们的方差
导航 目 标 素 养 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布方差的求法,会利用公式求它 们的方差. 素养·目标定位
知识概览 导航 概念 方差D(X) 性质 离散型随机变量的方差 标准差D 方差的实际应用
知 识 概 览 导航
导航 课前·基础认知 1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示 X xi x2 ●中● n P pi p2 ●●● Dn
导航 1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 课前·基础认知
考虑X所有可能取值x:与E)的偏差的平方x1-E(X)2,x2 E)2,…,化E凶)2因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们 用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值 与其均值E)的偏离程度.我们称D)= 为随机变量X的方 差，有时也记为Vr(),并称DX)为随机变量X的 记为o(Xy
导航 考虑 X 所有可能取值 xi与 E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2 ,(x2- E(X))2 ,…,(xn-E(X))2 .因为 X 取每个值的概率不尽相同,所以我们 用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量 X 取值 与其均值 E(X)的偏离程度.我们称 D(X)= (x1-E(X))2 p1+(x2- E(X))2 p2 +…+(xn-E(X))2 pn= ∑ 𝒊=𝟏 𝒏 (xi-E(X))2 pi 为随机变量 X 的方 差,有时也记为 Var(X),并称 𝐃(𝐗)为随机变量 X 的 标准差 , 记为 σ(X)
导月 (2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其 均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度方差或标 准差越小，随机变量的取值越 方差或标准差越大， 随机变量的取值越 微思考随机变量的方差与样本方差的关系是什么？ 提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的 方差是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样 本，随着样本量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差
导航 (2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其 均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标 准差越小,随机变量的取值越 集中 ;方差或标准差越大, 随机变量的取值越 分散 . 微思考 随机变量的方差与样本方差的关系是什么? 提示:随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,样本的 方差是随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样 本,随着样本量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差
导航 2.离散型随机变量方差的线性运算性质 一般地，可以证明下面的结论成立：D(aX+b)=
导航 2.离散型随机变量方差的线性运算性质 一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)= a 2D(X)
导航 课堂·重难突破 求离散型随机变量的方差、标准差 典例剖析 1.袋中有20个除标号外，其他均相同的球，其中记上0号的有 10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，5表示所 取球的标号.求的分布列、均值和方差
导航 一 求离散型随机变量的方差、标准差 典例剖析 1.袋中有20个除标号外,其他均相同的球,其中记上0号的有 10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所 取球的标号.求ξ的分布列、均值和方差. 课堂·重难突破
解：由题意得，5的所有可能取值为0,1,2,3,4， 导航 P=0)月 =PG5品P5-2品= 10 1 P(5-3)片 20 X 2 3 4 P(6=4)片 1-5 1 1 3 20= 1 D 二2 20 10 20 5 故飞的分布列为 因此E(⑤=0×+1×+2×+3×3+ 1 3 20 10 20 D同-0-》×2(1-引}x六+2-}x+3-引}*品+4
导航 D(ξ)= 𝟎 − 𝟑 𝟐 2 × 𝟏 𝟐 + 𝟏 − 𝟑 𝟐 2 × 𝟏 𝟐𝟎 + 𝟐 − 𝟑 𝟐 2 × 𝟏 𝟏𝟎 + 𝟑 − 𝟑 𝟐 2 × 𝟑 𝟐𝟎 + 𝟒 − 𝟑 𝟐 2 × 𝟏 𝟓 = 𝟏𝟏 𝟒 . 解:由题意得,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, P(ξ=0)= 𝟏𝟎 𝟐𝟎 = 𝟏 𝟐 ,P(ξ=1)= 𝟏 𝟐𝟎 ,P(ξ=2)= 𝟐 𝟐𝟎 = 𝟏 𝟏𝟎 , P(ξ=3)= 𝟑 𝟐𝟎 , P(ξ=4)= 𝟒 𝟐𝟎 = 𝟏 𝟓 . 故 ξ 的分布列为 因此 E(ξ)=0× 𝟏 𝟐 +1× 𝟏 𝟐𝟎 +2× 𝟏 𝟏𝟎 +3× 𝟑 𝟐𝟎 +4× 𝟏 𝟓 = 𝟑 𝟐 , X 0 1 2 3 4 P 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝟑 𝟐𝟎 𝟏 𝟓