全程设计 微专题二离散型随机变量的均值
微专题二 离散型随机变量的均值
放回与不放回问题的均值 超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是 放回抽样问题超几何分布中的概率计算实质上是古典概型 问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率 问题
一 放回与不放回问题的均值 超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是 放回抽样问题.超几何分布中的概率计算实质上是古典概型 问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率 问题
典型例题1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽 1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数1的均值
【典型例题1】在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽 1件,求: (1)不放回抽样时,抽取次品数ξ的均值; (2)放回抽样时,抽取次品数η的均值
解：山方法一P(0 5 Pe警=528 1 15 因此随机变量：的分布列为 0 1 2 g=x1x名+2x= 7 1 15 15 =01,2 方法二：由题意知P作)cC 故随机变量飞服从超几何分布，=3，M=2,N=10, 因此E(⑤n=- nM 3×2 N 10 二
解:(1)方法一:P(ξ=0)= 𝐂𝟖 𝟑 𝐂𝟏𝟎 𝟑 = 𝟕 𝟏𝟓 ; P(ξ=1)= 𝐂𝟐 𝟏 𝐂𝟖 𝟐 𝐂𝟏𝟎 𝟑 = 𝟕 𝟏𝟓 ;P(ξ=2)= 𝐂𝟐 𝟐 𝐂𝟖 𝟏 𝐂𝟏𝟎 𝟑 = 𝟏 𝟏𝟓 . 因此随机变量 ξ 的分布列为 E(ξ)=0× 𝟕 𝟏𝟓 +1× 𝟕 𝟏𝟓 +2× 𝟏 𝟏𝟓 = 𝟑 𝟓 . 方法二:由题意知 P(ξ=k)= 𝐂𝟐 𝒌 𝐂𝟖 𝟑-𝒌 𝐂𝟏𝟎 𝟑 (k=0,1,2), 故随机变量 ξ 服从超几何分布,n=3,M=2,N=10, 因此 E(ξ)= 𝒏𝑴 𝑵 = 𝟑×𝟐 𝟏𝟎 = 𝟑 𝟓 . ξ 0 1 2 P 𝟕 𝟏𝟓 𝟕 𝟏𝟓 𝟏 𝟏𝟓
2)由题意知1次取到次品的概率为品 = 随机变量”服从二项分布B(3,), 国此E)3x 规律总结不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项 分布，求均值可利用公式代入计算
(2)由题意知 1 次取到次品的概率为 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟏 𝟓 , 随机变量 η 服从二项分布 η~B 𝟑, 𝟏 𝟓 , 因此 E(η)=3× 𝟏 𝟓 = 𝟑 𝟓 . 规律总结 不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项 分布,求均值可利用公式代入计算
跟踪训练1甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他完全相同的 红球和白球，已知甲袋中共有个球，乙袋中共有2个球，从甲 袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球 的概率为P2 (1)若=10，求甲袋中红球的个数； (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的 概率是，求P的值； 3)设P2=,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出 1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次设表示摸出红球 的总次数，求的分布列和均值
跟踪训练1甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他完全相同的 红球和白球,已知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲 袋中摸出1个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出1个球为红球 的概率为P2 . (1)若m=10,求甲袋中红球的个数; (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的 概率是 ,求P2的值; (3)设P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1个球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球 的总次数,求ξ的分布列和均值. 𝟐 𝟓 𝟏 𝟑 𝟏 𝟓
解：(1)设甲袋中红球的个数为七， 依题意得=10×2=4. (②)由已知，得+2m 2 3m 解得】 2- 3)5的所有可能取值为0,1,2,3. PG-0)=3×4×=超 -1251 P5后x营x+×C××= 56 125 P=2×cxx+x() 19 125 P6-3号×() 2 125
解:(1)设甲袋中红球的个数为 x, 依题意得 x=10× 𝟐 𝟓 =4. (2)由已知,得 𝟐 𝟓 𝒎+𝟐𝒎𝑷𝟐 𝟑𝒎 = 𝟏 𝟑 ,解得 P2= 𝟑 𝟏𝟎 . (3)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)= 𝟑 𝟓 × 𝟒 𝟓 × 𝟒 𝟓 = 𝟒𝟖 𝟏𝟐𝟓 , P(ξ=1)= 𝟐 𝟓 × 𝟒 𝟓 × 𝟒 𝟓 + 𝟑 𝟓 × 𝐂𝟐 𝟏 × 𝟏 𝟓 × 𝟒 𝟓 = 𝟓𝟔 𝟏𝟐𝟓 , P(ξ=2)= 𝟐 𝟓 × 𝐂𝟐 𝟏 × 𝟏 𝟓 × 𝟒 𝟓 + 𝟑 𝟓 × 𝟏 𝟓 𝟐 = 𝟏𝟗 𝟏𝟐𝟓 , P(ξ=3)= 𝟐 𝟓 × 𝟏 𝟓 𝟐 = 𝟐 𝟏𝟐𝟓
所以的分布列为 0 1 2 3 48 56 19 2 125 125 125 125 48 56 19 所以E0X25中X+2 4 125' +3x2 125125 =5
所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 𝟒𝟖 𝟏𝟐𝟓 𝟓𝟔 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟗 𝟏𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟓 所以 E(ξ)=0× 𝟒𝟖 𝟏𝟐𝟓 +1× 𝟓𝟔 𝟏𝟐𝟓 +2× 𝟏𝟗 𝟏𝟐𝟓 +3× 𝟐 𝟏𝟐𝟓 = 𝟒 𝟓
二与排列、组合有关的分布列的均值 解决与排列组合有关的应用时，首先要将实际问题数学化， 然后求出随机变量的概率分布列对于一般类型的随机变量， 应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是灵活地 应用排列组合知识计算概率
二 与排列、组合有关的分布列的均值 解决与排列组合有关的应用时,首先要将实际问题数学化, 然后求出随机变量的概率分布列.对于一般类型的随机变量, 应先求其分布列,再代入公式计算,此时解题的关键是灵活地 应用排列组合知识计算概率
【典型例题2】如图所示，从空间直角坐 标系0-xyz的A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0), B20,2,0),C10,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随 机选取3个点，将这3个点及原点O两两相 连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为 随机变量（若选取的3个点与原点在同一 B B2 个平面内，则此时“立体”的体积=0)， (1)求=0的概率； (2)求均值E(
【典型例题2】如图所示,从空间直角坐 标系O-xyz的A1 (1,0,0),A2 (2,0,0),B1 (0,1,0), B2 (0,2,0),C1 (0,0,1),C2 (0,0,2)这6个点中随 机选取3个点,将这3个点及原点O两两相 连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为 随机变量V(若选取的3个点与原点在同一 个平面内,则此时“立体”的体积V=0). (1)求V=0的概率; (2)求均值E(V)