全程设计 微专题二 导数的综合应用
微专题二 导数的综合应用
导航 导数在不等式中的应用 命题角度1.构造函数证明不等式 【典型例题1】已知函数fx)=e*+x2-x (1)当=1时，讨论fx)的单调性； (2)当x≥0时，fx)≥x3+1,求a的取值范围。 解：(1)当=1时fx)=e+x2-x,fx)=e*+2x-1. 故当x∈(-oo,0)时，fx)0. 所以f)在区间(0,0)内单调递减，在区间(0，+o∞)内单调递增
导航 一 导数在不等式中的应用 命题角度1.构造函数证明不等式 【典型例题1】已知函数f(x)=e x+ax2 -x. (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≥ x 3+1,求a的取值范围. 𝟏 𝟐 解:(1)当a=1时,f(x)=e x+x2 -x,f'(x)=e x+2x-1. 故当x∈(-∞,0)时,f'(x)0. 所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增
导 2y)≥23+1等价于(G侵x3-ax2+x+1)e≤1 设函数gw台x3-ar2+x+1e*(c≥0， 则g)-(（侵x3-ax2+x+1-2x2+2ax-1)e =2xcr2-(2a+3)x+4a+2]e=zx(c-2a-l)x-2)e ①若2+1≤0，即u≤，则当x∈(0,2)时，g'e)>0. 所以gx)在区间(0,2)内单调递增，而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时gK)>1,不合题意
导航 (2)f(x)≥ 𝟏 𝟐 x 3 +1 等价于 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 − 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 e -x ≤1. 设函数 g(x)= 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 -𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 e -x (x≥0), 则 g'(x)=- 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 − 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 − 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 − 𝟏 e -x =- 𝟏 𝟐 x[x 2 -(2a+3)x+4a+2]e-x =- 𝟏 𝟐 x(x-2a-1)(x-2)e-x . ①若 2a+1≤0,即 a≤- 𝟏 𝟐 ,则当 x∈(0,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在区间(0,2)内单调递增,而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意
②若02a+10. 所以g()在区间(0,2a+1),(2,+∞)内单调递减，在区间(2a+1,2) 内单调递增 由于g(0)=1,所以gx)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e2≤1， 即a≥7-e2 所以当7e≤时g≤1
导航 ②若 00. 所以g(x)在区间(0,2a+1),(2,+∞)内单调递减,在区间(2a+1,2) 内单调递增. 由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)·e-2≤1, 即 a≥ 𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 . 所以当𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 ≤a< 𝟏 𝟐 时,g(x)≤1
导航 ®若2+1≥2，即a≥2则gx)≤(2x3+x+1小e 由于0∈[华》故由@可得Gx3+x+1)e≤1 故当a≥，时ge)≤1. 综上，a的取值范周是7g,+0）}
导航 ③若 2a+1≥2,即 a≥ 𝟏 𝟐 ,则 g(x)≤ 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝒙 + 𝟏 ·e -x . 由于 0∈ 𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 , 𝟏 𝟐 ,故由②可得 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝒙 + 𝟏 e -x ≤1. 故当 a≥ 𝟏 𝟐 时,g(x)≤1. 综上,a 的取值范围是 𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 , + ∞
导航 解题技巧 利用导数法证明不等式的思路 (1)若要证明fx)>a成立，只需证明fx)mim>a即可. (2)若要证明fx)>gx)在区间D上成立，基本方法是构造函数 hc)=fx)gc),然后根据函数hc)的单调性证明x)mim>0
导航 解题技巧 利用导数法证明不等式的思路 (1)若要证明f(x)>a成立,只需证明f(x)min>a即可. (2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立,基本方法是构造函数 h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性证明h(x)min>0
导航 跟踪训练I已知函数心十年 的图象在点(-1，f孔-1)处的切 线方程为x+y+3=0. (1)求函数fx)的解析式； (2)设g(x)=lnx,求证：gx)≥fx)在区间[1，+o)内恒成立
导航 跟踪训练1已知函数f(x)= 的图象在点(-1,f(-1))处的切 线方程为x+y+3=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=ln x,求证:g(x)≥f(x)在区间[1,+∞)内恒成立. 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒙 𝟐 + 𝟏
导航 (1)解：将x=1代入切线方程得y=-2, 所以I)解-2，化简得6一4① f)ata2 (x2+1)2 f1)2a+h0-1.② 4 联立①②，解得=2，b=-2.所以w)2+1 2X-2
导航 (1)解:将 x=-1 代入切线方程得 y=-2, 所以 f(-1)= 𝒃-𝒂 𝟏+𝟏 =-2,化简得 b-a=-4.① f'(x)= 𝒂(𝒙 𝟐 +𝟏)-(𝒂𝒙+𝒃)·𝟐𝒙 (𝒙 𝟐 +𝟏) 𝟐 , f'(-1)= 𝟐𝒂+𝟐(𝒃-𝒂) 𝟒 =-1.② 联立①②,解得 a=2,b=-2.所以 f(x)= 𝟐𝒙-𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏
(2)证明：由题意知，要证1nx≥x2在区间I1,+0)内恒成立， x2+1 即证明x2lnx+lnx-2x+2≥0在区间[1，+oo)内恒成立. (x)=x2Inx+In x-2x+2, 则h'e)-2xlnx+x+2-2, 2 1 因为x≥1，所以2xnx≥0，x+≥2x:x=2(当且仅当x=1时等 号成立)，所以h'x)≥0，所以x)在区间[1，+o∞)内单调递增，所以 (x)≥h(1)=0,所以g(c)≥x)在区间[1，+o)内恒成立
导航 (2)证明:由题意知,要证 ln x≥ 𝟐𝒙-𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏 在区间[1,+∞)内恒成立, 即证明x 2 ln x+ln x-2x+2≥0在区间[1,+∞)内恒成立. 设h(x)=x2 ln x+ln x-2x+2, 则h'(x)=2xln x+x+ -2, 因为x≥1,所以2xln x≥0,x+ ≥2 =2(当且仅当x=1时等 号成立),所以h'(x)≥0,所以h(x)在区间[1,+∞)内单调递增,所以 h(x)≥h(1)=0,所以g(x)≥f(x)在区间[1,+∞)内恒成立. 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝒙· 𝟏 𝒙
导航 命题角度2.利用“若fx)min>g)max,则fx)>g)”证明不等式 【典型例题2】已知函数fx)=xlnx-x. (1)当=-1时，求函数fx)在区间(0，+∞)内的最值； 2证明：对一切∈(0，+o,都有1nx+1e-忌成立 2
导航 命题角度2.利用“若f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)”证明不等式 【典型例题2】已知函数f(x)=xln x-ax. (1)当a=-1时,求函数f(x)在区间(0,+∞)内的最值; (2)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x+1> 𝟏 𝐞 𝒙+𝟏 − 𝟐 𝐞 𝟐 𝒙 成立