全程设计 8.2 一元线性回归模型及其应用
8.2 一元线性回归模型及其应用
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随 堂 训 练
导奥 素养·目标定位 目标素养 1.了解一元线性回归模型及随机误差、残差、残差分析的概 念 2.了解最小二乘法的思想方法，会求经验回归方程，并用回归 方程进行预报. 3.会用残差分析判断经验回归模型的拟合效果 4.了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型的思想
导航 目 标 素 养 1.了解一元线性回归模型及随机误差、残差、残差分析的概 念. 2.了解最小二乘法的思想方法,会求经验回归方程,并用回归 方程进行预报. 3.会用残差分析判断经验回归模型的拟合效果. 4.了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型的思想. 素养·目标定位
知识概览 导航 元线性回归模型 经验回归方程的定义 经验回归方程 最小二乘法 一元线 性回归 随机误差 模型及 其应用 误差分析 残差分析 利用R比较拟合效果 非线性经验回归方程 实际问题回归模型的建立
知 识 概 览 导航
导期 课前·基础认知 1.一元线性回归模型 用x表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差假定随机 误差的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之 (Y=bx+a+e, 间的关系可以表示为Ee)=O.De)二o2,我们称此式为y关于 x的 .其中，称为 或 x称为 或 ;a和b为模型的未 知参数，称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的
导航 1.一元线性回归模型 用x表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差.假定随机 误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值σ 2 ,则它们之 间的关系可以表示为 𝒀 = 𝒃𝒙 + 𝒂 + 𝒆, 𝑬(𝒆) = 𝟎,𝑫(𝒆) = 𝝈 𝟐 . 我们称此式为 Y 关于 x的 一元线性回归模型 .其中,Y称为 因变量 或 响应 变量 ,x称为 自变量 或 解释变量 ;a和b为模型的未 知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的 随机误差 . 课前·基础认知
导期 2.一元线性回归模型参数的最小二乘估计 )在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常 n 用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=∑0bxr)2来刻画 i=1 n (x1x0y-) b= “整体接近程度”.当4，b的取值为 (2 时，2达到最 a y-bx 小
导航 2 .一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (1)在实际应用中,因为绝对值使得计算不方便,所以人们通常 用各散点到直线的竖直距离的平方之和 Q= ∑𝒊=𝟏𝒏 (yi-bxi-a)2 来刻画 “整体接近程度”.当 a,b 的取值为 𝐛^ = ∑𝒊=𝟏𝒏 (𝒙𝒊-𝒙)(𝒚𝒊-𝒚) ∑𝒊=𝟏𝒏 (𝒙𝒊-𝒙)𝟐 , 𝒂^ = 𝒚-𝒃^𝒙 时,Q 达到最 小
导航 我们将y=bx+a称为Y关于x的 ,也称 或 ,其图形称为 ,这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b,α叫 做b,a的 注：这里的“二乘是平方的意思
导航 我们将𝒚 ^ = 𝒃 ^ x+𝒂 ^ 称为 Y 关于 x 的 经验回归方程 ,也称 经验回归函数 或 经验回归公式 ,其图形称为 经验回归直 线 .这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的𝒃 ^ , 𝒂 ^ 叫 做 b,a 的 最小二乘估计 .注:这里的“二乘”是平方的意思
微思考b的含义是什么？ 提示：b代表x每增加一个单位y的平均增加（减少）单位数，而不 是增加（减少）单位数 当b>0时，两个变量呈正相关关系，含义为x每增加一个单位y平 均增加b个单位数； 当b<0时，两个变量呈负相关关系，含义为x每增加一个单位y平 均减少b个单位数
导航 微思考𝒃 ^ 的含义是什么? 提示:𝐛 ^ 代表 x 每增加一个单位 y 的平均增加(减少)单位数,而不 是增加(减少)单位数. 当𝒃 ^ >0 时,两个变量呈正相关关系,含义为 x 每增加一个单位 y 平 均增加𝒃 ^ 个单位数; 当𝒃 ^ <0 时,两个变量呈负相关关系,含义为 x 每增加一个单位 y 平 均减少𝒃 ^ 个单位数
导航 (2)对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经 验回归方程得到的·称为预测值，观测值减去预测值称为
导航 (2)对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经 验回归方程得到的 称为预测值,观测值减去预测值称为 残差 . 𝒚 ^
导 S决定系数R的计算公式为 20示在表达式中， 0y-y)2 n n 0)2与经验回归方程无关，残差平方和∑0y)2与经验回归方 1=1 i三1 程有关因此2越大，表示残差平方和 即模型的拟合效果 ;2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果
导航 (3)决定系数 R2 的计算公式为 R2 =1- ∑ 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒚𝒊 -𝒚 ^ 𝒊 ) 𝟐 ∑ 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒚𝒊 -𝒚) 𝟐 .在 R2 表达式中, ∑ 𝒊=𝟏 𝒏 (yi-𝒚) 2 与经验回归方程无关,残差平方和 ∑ 𝒊=𝟏 𝒏 (yi-𝒚 ^ 𝒊 ) 2 与经验回归方 程有关.因此 R2 越大,表示残差平方和 越小 ,即模型的拟合效果 越好 ;R2 越小,表示残差平方和越大,即模型的拟合效果 越差