全程设计 6.3.1 二项式定理
6.3.1 二项式定理
素养·目标定位 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
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导航 素养·目标定位 目标素养 1能用计数原理证明二项式定理 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式 3.能解决与二项式定理有关的简单问题
导航 目 标 素 养 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式. 3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 素养·目标定位
知识概览 导航 二项式 二项展开式 定理 二项式系数 二项式定理 二项展开式 的通项
知 识 概 览 导航
导航 课前·基础认知 L二项式定理 (1)对于任意正整数n,我们有(a+b)= ,此公式叫做二项式定理，右边的多 项式叫做(a+b)”的 ,其中各项的系数 叫做二项式系数式中的 叫做二 项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项： Tk+=
导航 1 .二项式定理 (1)对于任意正整数 n,我们有(a+b)n = 𝐂 𝒏𝟎 a n + 𝐂 𝒏𝟏 a n-1b + … + 𝐂 𝒏𝒌 a n-k b k + … + 𝐂 𝒏𝒏 b n,n ∈ N* ,此公式叫做二项式定理,右边的多 项式叫做(a+b)n 的 二项展开式 ,其中各项的系数 𝐂 𝒏𝒌(k=0,1,2, …,n) 叫做二项式系数.式中的 𝐂 𝒏𝒌 a n-k b k 叫做二 项展开式的通项,用 Tk+1表示,即通项为展开式的第 k+1 项: Tk+1= 𝐂𝒏𝒌an-kbk . 课前 ·基础认知
导 (2)在二项式定理中，若设=1，b=x,则得到公式： (1+x)”= 微思考(1)二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区 别？ 提示：二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念.二项 式系数是指C%,C1,…,Ch,它只与各项的项数有关，而与，b的值 无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与 各项的项数有关，而且也与α，b的值有关
导航 (2)在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式: (1+x) n = 𝐂𝒏 𝟎 + 𝐂𝒏 𝟏 x+𝐂𝒏 𝟐 x 2 +…+𝐂𝒏 𝒌 x k +…+𝐂𝒏 𝒏 x n . 微思考(1)二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区 别? 提示:二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念.二项 式系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值 无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与 各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 𝐂𝒏 𝟎 ,𝐂𝒏 𝟏 , … ,𝐂𝒏 𝒏
导航 (2)(a+b)与（亿+"展开式中第k+1项是否相同？ 提示：不同.(a+b)展开式中第(k+1)项为Ck-kb, 而(b+”展开式中第(k+1)项为Ckb-kak
导航 (2)(a+b) n与(b+a) n展开式中第k+1项是否相同? 提示:不同.(a+b) n 展开式中第(k+1)项为𝐂𝒏 𝒌 a n-k b k , 而(b+a) n 展开式中第(k+1)项为𝐂𝒏 𝒌 b n-k a k
导航 微判断(1)(a+b)"展开式中共有n项.(×) (2)在公式中，交换4，b的顺序对各项没有影响.(×) (3)C-b是(a+b)展开式中的第k项(×) (4)(a-b)与(a+b)的二项展开式的二项式系数相同.（√）
导航 微判断(1)(a+b) n展开式中共有n项.( ) (2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.( ) (3)𝐂𝒏 𝒌 a n-k b k 是(a+b) n 展开式中的第 k 项.( ) (4)(a-b) n与(a+b) n的二项展开式的二项式系数相同.( ) × × × √
导航 课堂·重难突破 一二项式定理的正用和逆用 典例剖析 4 1.()求(3v元+) 的展开式； (2)化简：c-1)5+5(-1)4+10(x-1)3+10-1)2+5(x-1)
导航 一 二项式定理的正用和逆用 典例剖析 1.(1)求 𝟑√𝒙 + 𝟏 √𝒙 𝟒 的展开式; (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 课堂·重难突破
导航 解((3v元+)=C431+C43V32+C32-(a) +C-3V反-()3+c4(a)-812+108x54++云 (2)原式=Cgc-1)5+C3x-1)4+Cx-1)3+C3c-1)2+Cx-1)+C 1)°-1=[c-1)+15-1=x51
导航 解:(1) 𝟑√𝒙 + 𝟏 √𝒙 𝟒 = 𝐂𝟒 𝟎 (3√𝒙) 4 +𝐂𝟒 𝟏 (3√𝒙) 3 · 𝟏 √𝒙 + 𝐂𝟒 𝟐 (3√𝒙) 2 · 𝟏 √𝒙 𝟐 +𝐂𝟒 𝟑 ·3√𝒙 · 𝟏 √𝒙 𝟑 + 𝐂𝟒 𝟒 · 𝟏 √𝒙 𝟒 =81x 2 +108x+54+ 𝟏𝟐 𝒙 + 𝟏 𝒙 𝟐 . (2)原式=𝐂𝟓 𝟎 (x-1)5 +𝐂𝟓 𝟏 (x-1)4 +𝐂𝟓 𝟐 (x-1)3 +𝐂𝟓 𝟑 (x-1)2 +𝐂𝟓 𝟒 (x-1)+𝐂𝟓 𝟓 (x- 1)0 -1=[(x-1)+1]5 -1=x5 -1