全程设计 章末核心素养整合
章末核心素养整合
知识体系构建 专题归纳突破
知识体系构建 专题归纳突破
导航 知识体系构建 变化率问题 导数的概念 及其意义 导数的概念 导数的几何意义 基本初等函数的导数公式 导数的运算 导数的四则运算法则 一元函数的导 数及其应用 简单复合函数的导数 函数的单调性与导数 在函数中的应用 函数的极值与导数 导数在研究函 函数的最值与导数 数中的应用 用料最省、费用最低问题 实际应用 面积、容积的最值问题 利润最大、效率最高问题
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导航 专题归纳突破 专题一导数的几何意义 利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是 不是切点
导航 专题一 导数的几何意义 利用导数的几何意义求切线方程时,关键是搞清所给的点是 不是切点. 专题归纳突破
导航 【典型例题1】已知函数fx)=c3+3x2-6c-11, g(c)=3x2+6x+12,直线y=c+9,且f'(-1)=0. (1)求的值； (2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=fx)的切线，又是曲 线y=gx)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由
导航 【典型例题1】已知函数f(x)=ax3+3x 2 -6ax-11, g(x)=3x 2+6x+12,直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0. (1)求a的值; (2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲 线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由
解：(1)因为fx)=3c2+6x-6M,且f(-1)=0, 所以3-6-6=0，得=-2. (2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y=g(x)相切 的直线方程.设切点为(x0,3x子+6x0+12),则g'(o)=6x0+6.所以切线 方程为Jy-(3x+6x0+12)=(6x0+6)-x0).将点(0,9)的坐标代入，得 9-3x-6x0-12=-6x-60,所以3x行-3=0，得x0=士1. 当x=1时g'(1)=12,切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为y=12x+9;当x=-1时，8'(-1)=0，切点坐标为 (-1,9),所以切线方程为y=9
导航 解:(1)因为f'(x)=3ax2+6x-6a,且f'(-1)=0, 所以3a-6-6a=0,得a=-2. (2)因为直线m过定点(0,9),先求过点(0,9),且与曲线y=g(x)相切 的直线方程.设切点为(x0,3𝒙𝟎 𝟐 +6x0+12),则 g'(x0)=6x0+6.所以切线 方程为 y-(3𝒙𝟎 𝟐 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).将点(0,9)的坐标代入,得 9-3𝒙𝟎 𝟐 -6x0-12=-6𝒙𝟎 𝟐 -6x0,所以 3𝒙𝟎 𝟐 -3=0,得 x0=±1. 当x0 =1时,g'(1)=12,切点坐标为(1,21), 所以切线方程为y=12x+9;当x0 =-1时,g'(-1)=0,切点坐标为 (-1,9),所以切线方程为y=9
下面求曲线y=fx)的斜率为12和0的切线方程： 导 因为fx)=-2x3+3x2+12x-11,所以fx)=6x2+6x+12. 由fx)=12,得-6x2+6x+12=12,解得x=0或=1. 当x=0时，0)=11，此时切线方程为y=12x-11; 当x=1时，f1)=2,此时切线方程为y=12x-10. 所以y=12x+9不是公切线 由fx)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或=2. 当=1时孔-1)=18，此时切线方程为y=18; 当x=2时2)=9，此时切线方程为y=9,所以直线y=9是公切线 综上所述，当=0时，直线y=9是两曲线的公切线
下面求曲线 导航 y=f(x)的斜率为12和0的切线方程: 因为f(x)=-2x 3+3x 2+12x-11,所以f'(x)=-6x 2+6x+12. 由f'(x)=12,得-6x 2+6x+12=12,解得x=0或x=1. 当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11; 当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10. 所以y=12x+9不是公切线. 由f'(x)=0,得-6x 2+6x+12=0,解得x=-1或x=2. 当x=-1时,f(-1)=-18,此时切线方程为y=-18; 当x=2时,f(2)=9,此时切线方程为y=9,所以直线y=9是公切线. 综上所述,当k=0时,直线y=9是两曲线的公切线
规律方法此题直线恒过点(0,9)是解题的突破口，即若直 线m是曲线y=x)y=gx)的公切线，则切线必过点(0,9).一般说 来，求过定点的两曲线的公切线的一般思路是：先求出过定点 的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线对应函数的导 数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程 相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存 在切线斜率不存在的情况
导航 规律方法 此题直线m恒过点(0,9)是解题的突破口,即若直 线m是曲线y=f(x),y=g(x)的公切线,则切线必过点(0,9).一般说 来,求过定点的两曲线的公切线的一般思路是:先求出过定点 的一曲线的切线方程,再令斜率值与另一曲线对应函数的导 数相等,求出可能的切点,得出对应切线方程.若两条直线方程 相同,则为公切线;若不同,则不存在公切线.当然,也可能会存 在切线斜率不存在的情况
专题二利用导数研究函数的单调性 fx)>0(0或fx)<0; 3)确定并指出函数的单调递增区间、单调递减区间
导航 专题二 利用导数研究函数的单调性 f'(x)>0(0或f'(x)<0; (3)确定并指出函数的单调递增区间、单调递减区间
导航 4x27 【典型例题2】已知函数)2-xx∈0,1小 (1)求fx)的单调区间和值域； (2)设M≥1，函数gx)=x332x-2,x∈0,1，若对于任意 x1∈0,1]，总存在x∈0,1]，使得gco)=fx)成立，求的取值范 围
导航 【典型例题 2】已知函数 f(x)= 𝟒𝒙 𝟐 -𝟕 𝟐-𝒙 ,x∈[0,1]. (1)求f(x)的单调区间和值域; (2)设a≥1,函数g(x)=x3 -3a 2x-2a,x∈[0,1],若对于任意 x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0 )=f(x1 )成立,求a的取值范 围