4.1正弦和余弦 第1课时正弦及30°角的正 弦值
4.1 正弦和余弦 第1课时 正弦及30°角的正 弦值
探究 艘帆船从西向东航行到B处时,灯塔A在船的正北方向, 帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处,此时 灯塔A在船的北偏西65°的方向.试问:C处和灯塔4的 距离约等于多少米?(精确到1m) 分析 东 √由题意,△BC是直角三角形 其中∠B=909,∠A=65°,∠A 所对的边BC=2000m,求斜 边AC=? B 上述问题就是:知道直角三角形的一个为65°的锐角和这个锐 角的对边长度,想求斜边长度,为此,可以去探究直角三角 形中,659角的对边与斜边的比值有什么规律?
分析 由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90º ，∠A= 65º ，∠A 所对的边BC=2000m，求 斜 边AC=？ 北 东 上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º的锐角和这个锐 角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角 形中， 65º角的对边与斜边的比值有什么规律？ 65º A B C 一艘帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向， 探 究 帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时 灯塔A在船的北偏西65º的方向．试问：C处和灯塔A的 距离约等于多少米？（精确到1m）
每位同学画一个直角三角形,其中一个锐 个角为65°,量出650的对边长度和斜边长 做一做度,计算 65°角的对边 的值, 斜边 与同桌和邻近桌的同学交流,计算出 的比值是否相等(精确到0.01)? 结论:在有一个锐角为65°的直角三角形中,65°角的对边与 斜边的比值是一个常数,它约等于0.91
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º ，量出65º角的对边长度和斜边长 度，计算： 的值， 结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中，65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91． 65角的对边 斜边 做一做 与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论证明 已知:任意两个直角三角形△DEF和△DEF ∠D=∠D′=65°,∠E=∠E′=90° EF EF 求证:DFDF D D E 证明 ∠E=∠E=90°, E F ∠D=∠D′=65°, △DEF∽△DEF EA DE EF′D'F
结论证明 已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'， ∠D =∠D ' =65º ，∠E =∠E'= 90º, 求证： D E F D' E' F' ∵ ∠E =∠E ' = 90º， ∠D =∠D ' =65º， ∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ． ∴ . EF DF E F D F = . EF E F DF D F = 证明：
于是EF·D′F'=EF·D'F EF EF DFDF′ 因此在有一个锐角为65的所有直角三角形中,65°角 的对边与斜边的比值是一个常数 现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距 解获间 离约等于多少米的问题 解在直角三角形ABC中,BC=2000m, ∠A=65°, 2000 ≈0.91 AC 2000 解得AC≈ ≈2200m) 0.91
因此在有一个锐角为65º的所有直角三角形中， 65º角 的对边与斜边的比值是一个常数． 于是E F · D' F '＝ E F · D' F '． . EF E F DF D F = ∴ 现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距 离约等于多少米的问题． 解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ， ∠A= 65º ， 2000 0.91 AC ． 解得 2000 2200(m) 0.91 AC ．
类似地可以证明:在有一个锐角等于a的所有直角三 角形中,角a的对边与斜边的比值为一个常数 定义 在直角三角形中,锐角a的对边与斜边的比叫做角a的正 弦,记作:sina 角a的对边 即:Sina= 斜边
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正 弦，记作: 类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数． sin 即: sin . = 角 的对边 斜边 定义
例 题在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5 (1)求∠A的正弦SinA; B (2)求∠B的正弦sinB 解(1)∠A的对边BC=3,斜边 AB=5.于是 S1n43 5 (2)∠B的对边是AC.根据勾股定理,得 AC2=AB2-BC2=52-32=16 于是AC=4. 因此sinB
在直角三角形ABC中，∠C= 90º， BC=3，AB=5． （１）求∠A的正弦 ； （２）求∠B的正弦 ． sin A sinB （１） ∠A的对边BC=3，斜边 AB=5．于是 3 sin . 5 A = （２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得 2 2 2 2 2 AC AB BC = − = − = 5 3 16. 于是 AC=4． 因此 4 sin . 5 B = C A B 3 5 例 题 解
,在直角三角形ABC中,∠C=9,BC AB=13 练习 B (1)求sinA的值; 13 (2)求SinB的值 5 5 解:AC=√132-52=12,sinA=,sinB= 13 13 2.小刚说:对于任意锐角a,都有 0< sina <1 你认为他说得对吗?为什么? 我认为他说得对,因为正弦值是相对直角三角形来说的,而在置角形味面角边 斜边小,所以直角边与斜边的比值小于1,又因为直角边和斜边的长度 以直角边与斜边的比值大于0
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º， BC=5， AB=13． （１）求 的值； （２）求 sinB 的值． sin A 2．小刚说：对于任意锐角α，都有 你认为他说得对吗？为什么？ 0 ＜ sin ＜1 C A B 5 13 练 习 2 2 5 12 13 5 sinA= ,sinB= . 13 13 解：AC= =12, − 我认为他说得对，因为正弦值是相对直角三角形来说的，而在直角三角形中直角边比 斜边小，所以直角边与斜边的比值小于1，又因为直角边和斜边的长度值都是正数，所 以直角边与斜边的比值大于0
在直角三角形中,30角所对的直角边与斜边有 什么关系? 说一说 么 小结 在直角三角形中, 角a的对边 斜边
sin . = 角 的对边 斜边 小结 在直角三角形中， 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有 什么关系？ 说一说
在Rt△ABC中,∠C=90,BC=5 经AB=6.求sinA,sinB的值. B 做一敵 答案: n 4 √115 sin B 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=7,B=8.求 sinA,sinB的值 B 答案:smnA=7 sin B 8
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=5， AB=6．求 sin A ， sinB 的值． sin A，sinB 2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=7，B=8．求 的值． 5 sin , 6 A = 11 sin 6 B = 7 sin , 8 A = 15 sin . 8 B = 6 B C A 5 B C A 7 8 做一做 答案： 答案：