23一元二次方程根的判别式
2.3 一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0的 根的判别式,记作△,即△=b2-4ac 2·对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a00) (1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根,其根为x1 b+b2-4ac,x2=0-/b2-4ac 2a 2a (2)当△0时,方程有两个相等的实数根,其根为x1=x2 (3)当△<0时,方程没有实数根
1．我们把b 2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 ________________，记作____，即____＝b 2－4ac. 2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)当Δ____0时，方程有两个不相等的实数根，其根为x1 ＝ _____________，x2 ＝_______________； (2)当Δ____0时，方程有两个相等的实数根，其根为x1 ＝x2 ＝ ____________； (3)当Δ____0时，方程没有实数根． 根的判别式 Δ Δ ＞ －b＋ b 2－4ac 2a －b－ b 2－4ac 2a ＝ － b 2a ＜
知识点1利用判别式判断一元二次方程根的情况 1·(3分)(2014兰州)一元二次方程ax2+bx+c=0(a40)有两 个不相等的实数根,则b2-4ac满足的条件是(B A·b2-4ac=0B.b2-4ac>0 C·b-4ac<0D.b2-4ac20 2·(3分)2014自贡)元二次方程x2-4x+5=0的根的情况 是(D) A·有两个不相等的实数根 B·有两个相等的实数根 C·只有一个实数根 D·没有实数根
知识点1 利用判别式判断一元二次方程根的情况 1．(3分)(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两 个不相等的实数根，则b 2－4ac满足的条件是( ) A．b 2－4ac＝0 B．b 2－4ac＞0 C．b 2－4ac＜0 D．b 2－4ac≥0 2．(3分)(2014·自贡)一元二次方程x 2－4x＋5＝0的根的情况 是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 B D
3·(3分)2014苏州)下列关于x的方程有实数根的是(C) A·x2-x+1=0B.x2+x+1=0 C·(x-1)x+2)=0D.(x-1)2+1=0 4·(3分)元二次方程x2-5x+3=0的判别式△=13,此 方程的根的情况是有两个不相等的实数根
3．(3分)(2014·苏州)下列关于x的方程有实数根的是( ) A．x 2－x＋1＝0 B．x 2＋x＋1＝0 C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0 4．(3分)一元二次方程x 2－5x＋3＝0的判别式Δ＝____，此 方程的根的情况是_________________________． C 13 有两个不相等的实数根
5·(8分)不解方程,判别下列一元二次方程根的情况 (1)x2-x+1=0; 解:∵A=(-1)2-4×1×1=-30,∴此方程有两个不 相等的实数根;
5．(8分)不解方程，判别下列一元二次方程根的情况． (1)x 2－x＋1＝0； 解：∵Δ＝(－1)2－4×1×1＝－30，∴此方程有两个不 相等的实数根；
(3)4x2-2x+=0; 解::A=0,∴此方程有两个相等的实数根; 3x2-x-1=0 解:∵A=(-1)-4×(-)×(-1)=-1,∴此方程 没有实数根
(3)4x 2－2x＋ 1 4 ＝0； 解：∵Δ＝0，∴此方程有两个相等的实数根； (4)－ 1 2 x 2－x－1＝0. 解：∵Δ＝(－1) 2－4×(－ 1 2 )×(－1)＝－1，∴此方程 没有实数根．
知识点2一元二次方程根的判别式的应用 6·(3分)2014·汕头)关于x的一元二次方程x2-3x+m 0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(B) A·m 4 B. m4 C·m D. m< 7·(3分)若关于x的方程式x2-x+a=0有实数根,则a 的值可以是(D) A·2B. C.0.5D.0.25
知识点2 一元二次方程根的判别式的应用 6．(3 分)(2014·汕头)关于 x 的一元二次方程 x 2－3x＋m＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( ) A．m＞ 9 4 B．m＜ 9 4 C．m＝ 9 4 D．m＜－ 9 4 7．(3 分)若关于 x 的方程式 x 2－x＋a＝0 有实数根，则 a 的值可以是( ) A．2 B．1 C．0.5 D．0.25 B D
8·(3分(2014·镇江)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0 有两个相等的实数根,则m 9·(3分)若一元二次方程x2+2x+m=0无实数解,则m的 取值范围是m>1
8．(3分)(2014·镇江)若关于x的一元二次方程x 2＋x＋m＝0 有两个相等的实数根，则m＝_____________． 9．(3分)若一元二次方程x 2＋2x＋m＝0无实数解，则m的 取值范围是__________． 1 4 m＞1
10·(8分)已知关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有 实数根 (1)求a的最大整数值 (2)当a取最大整数值时,求出该方程的根 解:(1)依题意得:△=64-36(a-6)≥0,且a-6≠0,解 70 得:a≤ 9 且a≠6,即a的最大整数值为7 (2)当a=7时,x2-8x+9=0,解得x1=4+7,x2=4
10．(8分)已知关于x的一元二次方程(a－6)x 2－8x＋9＝0有 实数根． (1)求a的最大整数值； (2)当a取最大整数值时，求出该方程的根． 解：(1)依题意得：Δ＝64－36(a－6)≥0，且 a－6≠0，解 得：a≤ 70 9 ，且 a≠6，即 a 的最大整数值为 7； (2)当 a＝7 时，x 2－8x＋9＝0，解得 x1＝4＋ 7，x2＝4 － 7
11·(2014益阳)元二次方程x2-2x+m=0总有实数根 则m应满足的条件是(D) A·m>1B.m=1 C·m<1D.m≤1 12·关于x的一元二次方程x2-2ax-1=0(其中a为常数)的 根情况是(A) A·有两个不相等的实数根 B·可能有实数根,也可能没有 C·有两个相等的实数根 D·没有实数根
11．(2014·益阳)一元二次方程x 2－2x＋m＝0总有实数根， 则m应满足的条件是( ) A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1 12．关于x的一元二次方程x 2－2ax－1＝0(其中a为常数)的 根情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 D A