24一元二次方程根与系数的关系
2.4 一元二次方程根与系数的关系
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),当≥0时,设方程的两根为 b 与x,则x1 这个 关系定理通常被称为韦达定理
对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ≥0时，设方程的两根为 x1与x2 ，则x1＋x2 ＝__________，x1·x2 ＝__________，这个 关系定理通常被称为______________． － b a c a 韦达定理
知识点1利用根与系数的关系求代数式的值 1·(3分)(2014昆明已知x1x2是一元二次方程x2-4x+ 1=0的两个根,则x1x2等于(C) A·-4B C·1D.4 2·(3分)下列方程中,两根之和为3的是(C) A·x2+3x-1=0B.2x2-3x-2=0 C·-3x2+9x+5=0D.3x2-3x-4=0
知识点1 利用根与系数的关系求代数式的值 1．(3分)(2014·昆明)已知x1 ，x2是一元二次方程x 2－4x＋ 1＝0的两个根，则x1·x2等于( ) A．－4 B．－1 C．1 D．4 2．(3分)下列方程中，两根之和为3的是( ) A．x 2＋3x－1＝0 B．2x 2－3x－2＝0 C．－3x 2＋9x＋5＝0 D．3x 2－3x－4＝0 C C
3.(3分)若m,m是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根, 则m+n-m的值是()B A B.7 C·3 D.-3 4·(3分)若x1,x2是一元二次方程2x2-7x+4=0的两根,则 x1+x2与x1x2的值分别是
3. (3分)若m，n是一元二次方程x 2－5x－2＝0的两个实数根， 则m＋n－mn的值是( ) A．－7 B．7 C．3 D．－3 4．(3分)若x1 ，x2是一元二次方程2x 2－7x＋4＝0的两根，则 x1＋x2与x1·x2的值分别是_______________． B － 7 2 ，2
5·(8分)设x1x2是方程2x2+4x-3=0的两个实数根, 不解方程,求下列代数式的值 解:∵:x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个实数根,x1 十x2=-2,X1X2=3 2 (1)(x1+x2 解:(x1+x2-x1x2=(-2)2-(-2)=2
5．(8分)设x1 ，x2是方程2x 2＋4x－3＝0的两个实数根， 不解方程，求下列代数式的值． 解：∵x1，x2是方程 2x2＋4x－3＝0 的两个实数根，∴x1 ＋x2＝－2，x1x2＝－ 3 2 . (1)(x1＋x2 ) 2－x1 x2； 解：(x1＋x2) 2－x1x2＝(－2) 2－(－ 3 2 )＝ 11 2 ；
(2)+ 1x2+x14 解:- X1 X2 X1X2 (3)(x1+2)(x2+2) 解:(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=~3 2 3 2×(-2)+4= 2
(2) 1 x1 ＋ 1 x2 ； 解：1 x1 ＋ 1 x2 ＝ x2＋x1 x1x2 ＝ 4 3 ； (3)(x1＋2)(x2＋2)． 解 ：(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝ － 3 2＋ 2×(－2)＋4＝－ 3 2
知识点2利用韦达定理求字母的值或取值范围 6·(3分)已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分 别为x1=1,x2=-2,则b与c的值分别为(D) A·b=-1,c=2B.b=1,c=-2 C·b=1,c=2D.b=-1,c=-2 7·(3分)已知方程x2-(m-1)x-(2m-2)=0的两根之和等 于两根之积,则m的值为(A) A·1B 1C.2D.-2
知识点2 利用韦达定理求字母的值或取值范围 6．(3分)已知关于x的一元二次方程x 2－bx＋c＝0的两根分 别为x1 ＝1，x2 ＝－2，则b与c的值分别为( ) A．b＝－1，c＝2 B．b＝1，c＝－2 C．b＝1，c＝2 D．b＝－1，c＝－2 7．(3分)已知方程x 2－(m－1)x－(2m－2)＝0的两根之和等 于两根之积，则m的值为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 D A
8·(3分(2014曲靖)已知x=4是一元二次方程x2-3x+c=0 的一个根,则另一个根为x=-1 9·(3分)(2014莱芜)若关于x的方程x2+(k-2x+k2=0的两 根互为倒数,则k=
8．(3分)(2014·曲靖)已知x＝4是一元二次方程x 2－3x＋c＝0 的一个根，则另一个根为________________． 9．(3分)(2014·莱芜)若关于x的方程x 2＋(k－2)x＋k 2＝0的两 根互为倒数，则k＝__________． x＝－1 －1
10·(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2 =0有两个不等的实根为x1和x2 (1)求k的取值范围; 解:依题意得:A=(2k+12-4(k2-2)>0,解得k>-4; (2)xx217,求k的值 若+ 16 解:依题意得:x1+x2=2k+1,x1x2=k2-)…,x217 X x1+x2162k+116 X 1A2 17,°°k2-2 17 整理为16k2+34k-15 3 5 9 3 0,解得k1 2 °。k> k 8 8
10．(8分)已知关于x的一元二次方程x 2－(2k＋1)x＋k 2－2 ＝0有两个不等的实根为x1和x2 . (1)求k的取值范围； 解：依题意得：Δ＝(2k＋1)2－4(k2－2)＞0，解得 k＞－9 4 ； (2)若 1 x1 ＋ 1 x2 ＝－ 16 17，求 k 的值． 解：依题意得：x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k 2－2.∵ 1 x1 ＋ 1 x2 ＝－ 16 17， ∴ x1＋x2 x1x2 ＝－ 16 17，∴ 2k＋1 k 2－2 ＝－ 16 17，整理为 16k2＋34k－15＝ 0，解得 k1＝ 3 8 ，k2＝－ 5 2 .∵k＞－9 4 ，∴k＝ 3 8
1·(2014威海方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实 数根,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是(C) A·-2或3B.3 C·-2D.-3或2 12·(2014南昌)若a,β是方程x2-2x-3=0的两个实数根 则a2+B2的值为()A A·10B.9C.7D.5
11．(2014·威海)方程x 2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实 数根，且满足x1＋x2 ＝x1 x2 ，则m的值是( ) A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或2 12．(2014·南昌)若α，β是方程x 2－2x－3＝0的两个实数根 ，则α 2＋β 2的值为( ) A．10 B．9 C．7 D．5 C A